推 Desperato : 推 02/26 12:17
推 wbson : 十分感謝！ 02/26 14:04
推 Sfly : 配方之後變成解Pell's equation 02/26 14:35
※ 引述《wbson (Simple Power)》之銘言：
: k為任意正有理數
: 請問是否找得到唯一一組正整數(M,N)使得下列等式成立？
: M(M+1)=k*N(N+1)
: 我猜測某些k可能會讓找不到(M,N)的正整數解，例如k=4
: 但是像k=5又可以找到至少4組解(我是寫程式把所有小於1000的M N都檢查過)
: 煩請數論神人們可以指點我一下解的數目跟k有什麼關係，感恩
以下證明 k=5時 有無限多組正整數解
顯然M=5,N=2為一組解
令A[1]=5,B[1]=2
A[n+1]=9A[n]+20B[n]+14, B[n+1]=4A[n]+9B[n]+6 (n為正整數)
用數學歸納法證明: 對任意正整數n, A[n](A[n]+1)=5B[n](B[n]+1)
證:
(1) A[1](A[1]+1)=30=5B[1](B[1]+1)
(2) 設A[n](A[n]+1)=5B[n](B[n]+1)
(3) A[n+1](A[n+1]+1)-5B[n+1](B[n+1]+1)
=(9A[n]+20B[n]+14)(9A[n]+20B[n]+15)
-5(4A[n]+9B[n]+6)(4A[n]+9B[n]+7)
=A[n](A[n]+1)-5B[n](B[n]+1)=0
所以 對任意正整數n, A[n](A[n]+1)=5B[n](B[n]+1)
A[n+1]>A[n], B[n+1]>B[n]
故k=5可找到無限多組解
例如: (M,N)=(5,2),(99,44),(1785, 798)...
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