Re: [請益] 一題有點難的數學

[Sfly (topos)]

※ 引述《wbson (Simple Power)》之銘言：
: k為任意正有理數
: 請問是否找得到唯一一組正整數(M,N)使得下列等式成立？
: M(M+1)=k*N(N+1)
: 我猜測某些k可能會讓找不到(M,N)的正整數解，例如k=4
: 但是像k=5又可以找到至少4組解(我是寫程式把所有小於1000的M N都檢查過)
: 煩請數論神人們可以指點我一下解的數目跟k有什麼關係，感恩

這題其實很routin
(假設k是正整數)
原式等價於 X^2-k*Y^2=1-k, 其中X=2M+1, Y=2N+1.

此方程有無聊解 (X,Y)=(1,1)
當k不是平方數時, Pell's eq: X^2-k*Y^2=1 有無窮多組正整數解 (Xn,Yn)

則 X=Xn+kYn,Y=Xn+Yn 是 X^2-kY^2=1-k 的解

顯然, Xn,Yn一奇一偶, 故 N=(Y-1)/2是整數
另外, Xn,kYn亦然, 故 M亦為整數


因此, 當k不為平方數時, 原問題有無窮多解

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