作者Eliphalet (系統過宅)
看板Math
標題Re: [中學] 代數問題
時間Thu Mar 3 16:48:16 2016
※ 引述《farewell324 ()》之銘言：
: 已知 A=1/2 * 3/4 *5/6 *......*(2k-1)/2k
: 若 A< 1/7 ，則k最小為多少？
: 想不出有效的方法逼出下界，請教各位高手 謝謝！
騙點 P 幣囉
先說結論，最小的 k 為 16
一開始考慮 2/3 * 4/5 * ... * (2k)/(2k+1)
把它跟 A 相乘，可知
則 A^2 < 1/(2k+1)
如果 k ≧ 24 ， 則 A < 1/7
等等，差太多了對不對
那把 A 多留個一項看看
考慮這個 3/4 * 5/6 * ... * (2k-1)/(2k)
用類似的概念，可知當
(2k+1) ≧ (49*3/4) 時 A < 1/7
(k ≧ 18 時)
還不是很滿意對吧
那就讓 A 留個兩項，類似地，當
(2k+1) ≧ (49*45/64) 時 A < 1/7
(k ≧ 17 時)
土砲魂，留個三項試試
(2k+1) ≧ (49*175/256) 時 A < 1/7
(k ≧ 17 時)
(再繼續搞下去應該都一樣，愈來愈靠近 16)
大概可以猜出 k ≧ 16 時，A 會小於 1/7
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補充修正一下，當留到第四項時
(2k+1) > (49*9*105^2)/384^2 (k > 15.99)
就知道 k≧16 時，A < 1/7
後面不需要真的驗證 k = 16
但現在這方法大概離不開計算機了 ╮(╯▽╰)╭
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另一側應該也可以用類似方法搞出
k ≦ 15 時 ， A > 1/7
我這方法土砲了點，缺點就是你需要一台計算機
(手動應該也可以就是了 XD)，且
需驗證 k = 16 時 A 真的小於 1/7
ps. k = 15 時 A大約是 0.1445 (1/7 大約 0.1429)
k = 16 時 A大約是 0.1399
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反轉豬肚就是屎，那就是他的「真我」
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推 ckchi : 看不太懂，為什麼會變 A^2 < 1/(2k+1) 03/03 18:27
→ ckchi : 2/3 * 4/5 * ... * (2k)/(2k+1) 不是和A不一樣嗎? 03/03 18:28
→ Desperato : 是不一樣 可是可以每一項都變大一點成為A 03/03 18:41
→ ckchi : 喔我眼殘 我把<看成= 03/03 18:44
不好意思，有的地方沒寫很清楚
※ 編輯: Eliphalet (114.46.211.84), 03/03/2016 20:19:48