[中學] 有關機率

[hau (小豪)]

習題：

投擲一公正骰子一次，出現2,3,5點則得該點數獎金，出現其它點數則沒有獎金。

令 X 為投擲此公正骰子3次所得的所有獎金。求出X的期望值與變異數。

解：

我解出的期望值是5

變異數則是用Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2

我把 X = X_1 + X_2 + X_3 視為三次所得獎金的和，但算出變異數小於0，

一定是哪弄錯了！……

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推 shuncheng   : Var (X_1) = (4+9+25)/6 - (5/3)^2 = 32/9
→ shuncheng   : Var(X) = 3 * Var(X_1) = 32/3
→ shuncheng   : way 2 E[X] = 5
→ shuncheng   : Var(X) = 7704 / 6^3  -  E[X] ^2  = 32/3
推 shuncheng   : http://imgur.com/NDDyBBu
→ shuncheng   : p.s. 至於 Var(X) = 3*Var(X_1)是因為 uncorrelated
→ hau         : X^2=X_1^2+X_2^2+X_3^2+2(X_1X_2+X_2X_3+X_3X_1)
→ hau         : E(X^2)=3E(X_1^2)+6E(X_1X_2)
→ hau         : 請問這哪裡有錯嗎？
推 shuncheng   : 致小豪：你那兩行對喔～ 觀念正確  答案也是對的
→ shuncheng   : E(X^2)=3 *(19/3)+6 * (5/3) * (5/3)  = 107/3
→ shuncheng   : Var(X) =     107/3   -  E[X] ^2  = 32/3
→ shuncheng   : 看不懂可以再問   p.s. E[X_1X_2] = E[X_1]*E[X_2]
→ shuncheng   : 是因為 X_1 , X_2 兩變數為independent
→ shuncheng   : 上面有寫的條件都很重要 可以看一下英文版wiki
→ shuncheng   : 如果想要在中學深入研究的話 畢竟是E世代的必備能力
→ shuncheng   : 不看也可以   阿哈哈哈~~~
→ hau         : ok了，一開始沒注意到independent，E(X_1X_2)算錯。
→ hau         : 謝謝