Re: [微積] h[n] = sin(f*n)/(pi*n) 級數審歛

[JianMing (小明)]

※ 引述《shuncheng (shuncheng)》之銘言：


|sin(f*n)|≧|sin(f*n)|^2=(1-cos(2f*n))/2

|sin(f*n)|/n≧1/(2n)-cos(2f*n)/(2n)

注意到

∞
Σ1/(2n)=∞
n=1

(1) f不為pi的整數倍時:

∞
Σcos(2f*n))/(2n) 收斂
n=1

所以f不為pi的整數倍時,

∞
Σ|sin(f*n)|/n= ∞
n=1


(2) f為pi的整數倍時:

∞
Σ|sin(f*n)|/n= 0
n=1



: 不好意思...
: 剛剛發現絕對可加性的定義是：
: 要在原本訊號上加絕對值
: | h [n] |= | sin f*n / pi*n |  (0 < f <= pi)
: 因此要找的是 | h [n] | series 是否收斂或發散
: Eliphalet大謝謝你剛剛的解答  讓我學到一樣審歛法
: 不過還是很不好意思 ><
: 需要再上來版上求救+1次
: 感謝大家 QQ
: ※ 引述《Eliphalet (系統過宅)》之銘言：
: :   如果只是要證明級數收斂的話，可以用 Dirichlet test
: :   (但我不知道這你可不可以用)
: :   Dirichlet test
: :   https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_test
: :   因為
: :       m
: :      Σ sin(nf) = [cos(f/2) - cos((m+1/2)f)]/(2sin(f/2))
: :      n=1
: :   有界
: :   所以你可依 Dirichlet test 得到這個級數收斂
: :   p.s. 事實上不論 f 是多少，這個級數都會收斂
: :        但當作是變數 f 的函數時，f 在 2n(pi)
: :        不連續

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推 shuncheng   : 謝謝你  ~~  不過我想了很久  還是不知道為何 (1)
→ shuncheng   : cos (2f*n)/(2n)收斂
推 shuncheng   : 然後其他地方全部了解  謝謝你><  拜託再次解惑了><
→ JianMing    : 仿照Eliphalet的做法 sin 換成 cos
推 shuncheng   : 謝謝你~~~~