→ Desperato : 诶诶 等等 這篇不是回答過了嘛(?) 還是我誤會了 03/14 21:15
→ wayne2011 : 題目出的是大同小異~只不過這次要證的是"有理數" 03/15 00:21
※ 引述《Asuradagpx (那一天到了)》之銘言：
: 已知：a,b,c為實數，且a+b, b+c, c+a為有理數
: 試證：a,b,c為有理數
: 我的證明過程：
: 設a,b,c中至少存在一個無理數
: 若a為無理數，則令a = a' + x，其中a'為有理數，x為無理數
: 因為a+b為有理數，故可令b = b' + (-x)，其中b'為有理數
: 因為b+c為有理數，故可令c = c' + x，其中c'為有理數
: 則此時a+c = a' + c' +2x，a'+c'為有理數，2x為無理數，故a+c為無理數（矛盾）
: 所以a,b,c全為有理數
: 想請教這樣的證明過程是否有錯誤，或者有沒有更快的方法，謝謝大家
大概就是
當初r大所說的
不妨假設
a+b=α...(1)
b+c=β...(2)
c+a=γ...(3)
其中α,β,γ屬於有理數.
<pf>
(1)+(2)+(3):
a+b+c=(1/2)(α+β+γ)...(4)
將(4)分別減去(1)&(2)&(3)後
得a=(1/2)(α-β+γ),b=(1/2)(α+β-γ),c=(1/2)(β+γ-α)
由"有理數"對"加(乘)法"的"封閉性"知
a,b,c亦為有理數...
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