推 APM99 : 這種題目 設 y=a/b x=c/d 乘開硬解即可 03/14 23:39
→ wohtp : 重來。設 x = p/q != 0， (p, q) 互質 03/14 23:41
→ wohtp : x^3 + x = (p^3 + q^2 p)/q^3 = y^2 03/14 23:44
→ wohtp : 所以分母的 q 是完整平方 03/14 23:44
從這裡開始的確寫錯了 XD
→ wohtp : 分子的 x (x^2 + q^2) 兩個因子又互質，所以兩個都 03/14 23:45
→ wohtp : 各是完整平方 03/14 23:45
→ wohtp : Pythagorean triple的三個整數裡最多只有一個平方數 03/14 23:48
→ wohtp : x 和 q 都是完整平方的話，不可能有整數解，矛盾 03/14 23:49
→ Again72al : 我看不太懂...你的x是不是後面都打錯 03/15 10:0
令 x = p/q, y = a/b ， (p,q), (a,b) 互質
原式得
p (p^2 + q^2) / q^3 = a^2 / b^2
左邊的分子和分母互質，兩邊都是最簡了，所以
p (p^2 + q^2) = a^2 (1)
q^3 = b^2 (2)
(2):
q 自己只好是完整平方了。
(1):
p 和 (p^2 + q^2) 也互質，所以兩者都是完整平方。
對某個整數 k 有 p^2 + q^2 = k^2，所以 (p, q, k) 是 Pythagorean triple
但是 Pythagorean triple 三個數裡面最多只能有一個是平方數，而上面我們
發現 p, q 都是平方，所以矛盾，不可能有非零有理數解。
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推 Again72al : 好像通了耶！超級感謝～老師剛好有提到畢達哥拉斯只 03/15 12:10
→ Again72al : 是我都找不出關聯qq 03/15 12:10