Re: [中學] 有關幾何(不排除大學數學以上的解法)

[Eliphalet (羅馬焚燒)]

※ 引述《hau (小豪)》之銘言：
: 座標平面上曲線 y=x^4
: 現有一圓 C 過原點，圓心在 y 軸上，且圓上的點都不在曲線的下方
: (即圓上的點在曲線 y=x^4 上方或在曲線 y=x^4 上)。
: 求滿足上述條件的圓 C 之最大面積。

   kerwinhui 大回文的方法很漂亮

   以下是我的作法

   考慮 a > 0 ， 且圓

   x^2 + (y-a)^2 = a^2 和 y = x^4

   有除了原點以外的交點，而且其圖形

   皆在 y = x^4 之上

   令 t = x^2 ，y = t^2 代入圓方程式可得

   t * (t^3 -2at + 1) = 0

   故 t = 0 (原點) 或 t^3 - 2at + 1 = 0

   從圖來看，t^3 - 2at + 1 = 0 不可能有

   三相異實根這種情況

   因此判別式 D = -4(-2a)^3 -27 ≦ 0

    a^3 ≦ 27/32

   故該圓面積最大值 (9/8)*2^(-1/3)π

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→ kerwinhui   : 問：t為什麼不能有三相異實根？兩負一正
   感謝 kerwinhui 指正，當時考慮不周(其實沒想那麼多 XD)

   (不能出現兩正這種情形)

   兩負一正要另外排除

   如果用微積分來處理的話 (中學方法破功)

   可知 f(t) = t^3 - 2at + 1 只有一負根

   那麼三相異實根的情況必然是一負兩正

   接回原本情形
※ 編輯: Eliphalet (114.46.215.205), 03/17/2016 20:13:23
→ kerwinhui   : 或：Descarte's rule of sign得負根數目為奇數
→ kerwinhui   : 笛卡兒應該還算是中學方法吧？
→ Eliphalet   : 阿災，我高中老師沒教這個...應該說高中生可以理解
→ Eliphalet   : 的方法比較好(上面的卡當公式也是)
推 hau         : 給Eliphalet(中學方法沒破功)，高中學的微積分
→ hau         : 可畫三次多項式的圖，加上 f(0)=1 ，可看出
→ hau         : 不可能是兩負根，一正根
推 hau         : 謝謝kerwinhui、Eliphalet兩位高手的解答