Re: [中學] 三角函數 判定形狀

[XII (Mathkid)]

※ 引述《wayne2011 (吳怡萱情人節快樂)》之銘言：
: ※ 引述《ding94xu04 (錯誤示範)》之銘言：
: : 數學版上的大家好
: : 最近解到一個題目
: : 三角形ABC滿足下列條件，試判定其形狀
: : a=(b+c)sin(A/2)
: : 答案為等腰三角形
: : 我列了一大串算是變成a=b+c
: : 小學教過三角形三邊長這樣是不合理的
: : 不知道哪邊有算錯
: : 上來請教各位～～
: : 謝謝大家
: : http://i.imgur.com/NzIt7f9.jpg
: 出現在陳一理所編著的"三角函數"
: 當中的公式"(b+c)/a=(cosB+cosC)/(1-cosA)"
: ...張景中"平幾新路"一書當中,內心比"AI/ID=(b+c)/a"
: 將此公式拿來運用
: 可得(cosB+cosC)/(1-cosA)=1/[sin(A/2)]
: cosB+cosC=2sin(A/2)
: 再將左式"和差化積"寫出
: 2cos[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]=2sin(A/2)
: 2cos[(pi-A)/2]cos[(B-C)/2]=2sin(A/2)
: cos[(B-C)/2]=1...正餘弦"互餘"可化約
: (B-C)/2 = 0 , B=C
: 亦即為"等腰三角形"

設 B,C 對角 A 內角平分線投影點分別為 B',C'

a^2=BC^2=(BB'+CC')^2+B'C'^2≧(BB'+CC')^2=((b+c)sin(A/2))^2

故等號成立 => B'C'=0 => BC⊥角 A 內角平分線 => B = C

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這樣做連三角的公式都不用, 頂多用到定義(也許是題目設計的關係)
盡信書不如無書?

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推 wayne2011   : 也才想到你大概去年十月下旬有回而已~竟然就回篇了
→ XII         : 這兩篇有關係嗎?
推 wayne2011   : 感覺都是"解三角形"的題型~因而作法也跟老師都差不
→ wayne2011   : 多~要不然我一開始也不覺得用"和差化積"有比較好...
→ XII         : 作法差不多?
推 wayne2011   : 像去年那篇我用"積化和差",其實陳一理裡面寫的也就
→ wayne2011   : 是"和角公式",殊不知"積化和差"即是用"和角公式"導
→ wayne2011   : 出來的~你所用的觀念當中書本就有用到"射影定理"
→ XII         : 我覺得我看你的敘述都會會錯意...
推 wayne2011   : 總之我也沒想到說"內心比"竟然可用此定理證出來...
推 wayne2011   : 更正~其實是用"孟氏"導出來的,只是另外可再用"射影"
→ wayne2011   : 導出另外的三角恆等式...這在學校都未必學得到的...