[線代] 簡易的線性獨立證明

[harry921129 (哈利~~)]

        我想證明
        1,x,x^2,.....x^n  為線性獨立

        我查資料 有人是以下證法

        令 a0+a1x+a2x^2+....+anx^n=0
        把0看成是零多項式

        故a0=a1=a2=....=an=0

        請問這樣的證法可以嗎? 為甚麼   我有點不解

        那有無其他證明方法呢???  謝謝指點......
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        我的疑問就是來自推文那裏 所以在此修改一下文章

        兩個多項式相等

        a0+a1x+a2x^2+a3x^3=b0+b1x+b2x^2+b3x^3

        => (a0-b0)+(a1-b1)x+(a2-b2)x^2+(a3-b3)x^3=0

        高中數學告訴我們 a0=b0   a1=b1   a2=b2   a3=b3
        問題是這背後的理論不是應該就是 1,x,x^2,x^3 為線性獨立嗎
        我們可以拿結果來證明因嗎
        還是說

        令 a0+a1x+a2x^2+....+anx^n=0

           故a0=a1=a2=....=an=0

        有其他的解讀? 還是我想的方向錯了??


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推 jacky7987   : 不是把0看成0多項式 而是這裏的0就是0多項式
→ jacky7987   : 多項式相等就是係數一樣
※ 編輯: harry921129 (111.253.157.140), 03/24/2016 20:46:11
推 arthurduh1  : 代數基本定理: 僅有零多項式會有無限多個零點
→ arthurduh1  : 不過這樣看你的向量空間怎麼訂出來的
→ arthurduh1  : 如果是 formally 的多項式, 就直接比較係數即可
→ arthurduh1  : 如果是看成 (連續/任意/...)函數空間的子空間
→ arthurduh1  : 才需要代數基本定理
推 jacky7987   : 推樓上 這後面有些代數的上的差異 因爲你現在把
→ jacky7987   : 多項式看成一個函數 所以你會覺得奇怪 在多項式
→ jacky7987   : 的空間(formally)中 兩個多項式相等就代表係數相等
→ jacky7987   : 比方說在F_p[x] 裡 f(x)=x^p-x 跟 g(x)=0
→ jacky7987   : 這兩個是不同的多項式 但是代值都是0
推 jacky7987   : 這中間差一個evalute的東西