Re: 代PO 央大考古題求解

[arthurduh1 (arthurduh1)]

※第二題應該是藍筆修正的版本。

(原版本等價於 P(x)=0)

題設 P(x)P(x+1) = P(x^2+x+1)     ......(a)
代入 x = -y-1
得   P(-y-1)P(-y) = P(y^2+y+1)   ......(b)

令 x = y
知 P(x)P(x+1)=P(-x)P(-(x+1))     ......(c)





若 P(0)≠0
(c) 代入 x=0 得 P(1)=P(-1)

如此迭代，若有某個 n 滿足使得 P(n)=0 則
(a) 代入 x=n，得到 P(n^2+n+1)=0
但 x^2+x+1 在 x≧0 時為一遞增函數
故找到無窮多個 P(x) 的零點, 多項式 P(x)=0

若不存在滿足條件的 n, 則 P(n)=P(-n) for any integer n
P 為多項式, P(x) 與 P(-x) 在無窮多點相等 => 兩者相等















※第三題:

看要用哪種方法觀察出 a_n = C(2n-1,n-1)

這邊有個比較組合的方法

C(2n-1,n-1) 就是在 2n-1 個東西裡挑出 n-1 個

我們做出一個高 2 格、底 n-1 格的帶子
然後將兩個 2 個的邊黏起來，變成一個圓柱狀
每組垂直的兩格代表某個數字要不要取，假設上面著色代表要取

那麼 C(2n-1,n-1) 就是將這個帶子著色，
且「上面 n-1 格有著，下面 n 格有著，每組垂直的兩格必定要著一色」
的方法數

現在我們用 □■  以及 ■■ 這兩種方塊來填
           ■□       □□

這兩個方塊的特色是右邊兩格皆是 ■
                               □


填完後會有一組垂直的兩格沒有決定
強制填 □  即可
       ■

顯然填法有 (4n-2)(4n-4)...6 種
而每個方塊的順序無關緊要，因此對稱性除掉 (n-1)!

這樣的填法必定會某 n-1 個著色格在上面
反之，每種我們要的著法，都僅能唯一地切成這兩種方塊(以及最後兩格)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.230.45
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1458836618.A.A87.html
推 LPH66       : Q2 少討論了 P(1)=P(-1)=0 的狀況
→ LPH66       : 不過這裡一直代下去也是找得到無窮多整數取值 0
→ LPH66       : 因此是零多項式 => 也是偶函數
→ arthurduh1  : 應該是 P(0)=0? 我修一下
→ LPH66       : 啊, 我沒發現這應該一起討論了...
※ 編輯: arthurduh1 (140.112.230.45), 03/25/2016 00:30:54
→ LPH66       : 原式代 x = 0 有 P(0)P(1)=P(1) 所以...
→ LPH66       : 喔對, P(0) = 0 之後推得 P(1)=P(-1)=0
→ LPH66       : 然後回到原來做法
※ 編輯: arthurduh1 (140.112.230.45), 03/25/2016 00:44:28
推 Luke0412    : 有關藍筆的部份，是我朋友算出來的答案，不是考卷
→ Luke0412    : 修正的答案
→ Luke0412    : >///<  ！？
→ Luke0412    : 所以才想了解是否題目出錯了?!
→ Luke0412    : 還是自己本身算的有誤
推 LPH66       : 題目確實出錯了, 因為存在一個非奇函數符合原題條件
→ arthurduh1  : 題目其實也不是奇函數 而是零函數
推 ERT312      : 數學歸納法,由P(k)=P(-k)=0,能否推出P(k+1)=P(-k-1)
推 LPH66       : 啊, 原來差在樓上這裡...這邊大概要用我 2F 的推理
→ LPH66       : 感覺中間有點被這篇的做法帶走了 @@
的確
※ 編輯: arthurduh1 (140.112.230.45), 03/25/2016 11:42:26
已修正
※ 編輯: arthurduh1 (140.112.230.45), 03/25/2016 12:14:56
推 ERT312      : 也可以用 [P(x-1)P(x)]P(x+1) = P(x-1)[P(x)P(x+1)]
→ ERT312      : 推出 P(x-1)P(xx+x+1)=P(-x+1)P(xx+x+1)
→ ERT312      : 若P不為零多項式則為even
→ arthurduh1  : 恩 這樣比較快也比較 general
→ arthurduh1  : 多項式不錯  可是我好像看不出怎麼化簡的 =_=
推 ERT312      : 抱歉 早上弄錯了 剛剛再仔細算 發現好像算不出來
推 roger29     : 第三題用歸納法應該可以吧!?