[分析] 何謂 √(-1) ?

[zyymat (tamer)]

是我以前做的筆記

數學中的存在性
我們從非歐幾何說起. 非歐幾何還會在後面被提及.
歐幾裡得的”幾何原本”出現以後, 第五公設一直被眾多數學家廣為詬病. 很多人希望用
前四條公設證明平行公設, 但不能成功. 這樣經過長達 2000 年努力後, 數學家開始嘗試
另外的道路. 1820年代, 羅巴切夫斯基用一個和平行公理矛盾的命題來代替第五公設, 然
後與歐氏幾何的前四個公設結合成一個公理系統, 展開一系列的推理, 得出了一個又一個
在直覺上匪夷所思, 但在邏輯上不矛盾的命題. 這種幾何是為羅巴切夫斯基幾何. 從羅巴
切夫斯基創立的幾何學, 得出一個極為重要的, 具有普遍意義的結論: 邏輯上互不矛盾的
一組假設都有可能提供一種幾何學.
現在我們可以說: 數學中的存在性, 指的就是邏輯上的無矛盾性.
√(-1)的合理性
這個問題的答案, 其實就在 Ahlfors 的經典名作 “Complex analysis” 的開篇 1.3.
簡單點說, 就是有一個域, R 是其子域(或者有子域與 R 同構), 在這個域裡有一個元素
x, 滿足 x^2+1=0.
然後, Ahlfors 用例子說明了如何構造這樣的一個域.


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→ Desperato   : 我記得可以直接定義R^2上的加法和乘法
→ Desperato   : 然後把所有東西包進來就成了
→ recorriendo : "一組公理無矛盾 則滿足這組公理的structure存在"
→ recorriendo : 這是Godel's completeness theorem 的 corollary
→ recorriendo : 所以這句話本身也是要證明的
→ recorriendo : 題外話 羅巴切夫斯基沒有證明他的公設不會導致矛盾
→ recorriendo : Hilbert才證明了羅巴切夫斯基的公設推導不出矛盾
推 roger29     : 推