→ kerwinhui : (1) 看成 y' 的一次微分方程可得 (2) 03/29 10:08
→ kerwinhui : (2) 平方移1到右邊再開平方根 y'=F(y) sep'ble DE.. 03/29 10:11
問題出自stewart calculus一個課後的discovery project.
若連續函數y, 滿足y(0)=y(1)=0, y(x)>=0, 且
1
∫y(x) dx = 1, 找出圖像路徑最短的f.
0
書本只要學生試畫幾個出來找個短的, 不過我是想找出解, 就用變分法來算一下.
Min ∫√(1+(y')^2) dx
subject to ∫y dx = 1, y(0)=y(1)=0
設f(x,y,y') = √(1+(y')^2) 和 g(x,y,y') = y,
則
δf y'
--- = ------------
δy' √(1+(y')^2)
利用Lagrange multiplier, 考慮 h(x,y,y') = f+λg,
Euler-Lagrange方程就是
d╭δh ╮ δh
--│--- │ = ---
dx╰δy'╯ δy
d╭ y' ╮
--│------------│ = λ
dx╰√(1+(y')^2)╯
化簡後為
y" = λ(1 + (y')^2 )^(3/2)
然後這裡卡住不懂怎麼解了
或是因為h(x,y,y')和x無關, 所以有另一等價的Euler-Lagrange方程
δh
y'--- - h = const.
δy'
y'
y' ------------ - √(1+(y')^2) - λy = c
√(1+(y')^2)
化簡後為
1
------------ = -λy - c.
√(1+(y')^2)
這也一樣卡住
所以想請問怎麼解這兩道微分方程
或是可以用其他方法計算
雖然y 兩端為0, 不過因為積分有根號, 所以傅利葉級數應該沒辦法吧
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