推 chenkey976 : 感謝大大 03/30 22:39
※ 引述《chenkey976 (知道要做到)》之銘言：
: 正方形abcd中，m是對角線bd上一點，若ab等於根號2，求md+2mc的最小值？此時角bmc等
: 於幾度？
: 手機排版傷眼請見諒
實際上md+2mc最小的時候，m是三角形acd的費馬點
已在推文中詳述
這篇用一個比較繁複的計算來處理
設 md = x，則 mc = sqrt( x^2 - 2x + 2 )
(算不出 mc 的話，可以先找出正方形中心點o)
所以 md + 2mc = x + 2*sqrt( x^2 - 2x + 2 )
令等號左式為 y
所以 y = x + 2*sqrt( x^2 - 2x + 2 )
移項並平方以消除根號，對 x 整理
得 3x^2 + 2(y-4)x - (y^2 -8) = 0
因為 x = md 是一實根，所以判別式非負
即 (y-4)^2 + 3(y^2 -8) ≧ 0
得 y ≧ 1 + sqrt(3) 或 y ≦ 1 - sqrt(3) (但負不合)
所以 y = md + 2mc 的最小值是 1 + sqrt(3)
此時 md = x = (4-y)/3 = 1 - sqrt(3)/3
om = sqrt(3)/3 (o是正方形中心)
mc = 2*sqrt(3)/3
三角形omc三邊長比 om : mc : co = sqrt(3)/3 : 2*sqrt(3)/3 : 1 = 1 : 2 : sqrt(3)
所以角bmc = 角omc = 60度
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