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作者sk90040 (Yeh)
看板Math
標題[微積] dx不是實數?
時間Sat Apr 2 10:03:56 2016
手機排版請見諒 --------------------------- 最近在學習微積分時讀了一本介紹微積分史的書，其中在講到dx的時候給了dx的雙重性質 (1)某些時候，dx不等於0，因為它只是"很靠近"0 (2)某些時候，dx等於0，因為它無窮小 最後留下了問題 試證:dx不是實數 在這裡我思考了很久，感覺dx很實在啊！甚至知道它就是非常趨近於0的一個數 那為什麼不是實數呢？ 另外，我知道證明一個數是不是有理數通常可以用 p/q pq屬於Z 那證明是不是實數要如何作呢？ ps. 原po目前高3，現在自學大一微積分，有哪裡觀念不對還請各位指導，謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 49.218.37.82 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1459562638.A.0B8.html ※ 編輯: sk90040 (49.218.37.82), 04/02/2016 10:04:23
推 sssh : 其實單獨討論dx會有很大的爭議，dy/dx才真的有意義 04/02 11:09
推 arthurduh1 : 比如你的 (1) 和 (2)，就不會有任意實數符合 04/02 11:29
→ arthurduh1 : 等於 0 又不等於 0 04/02 11:29
→ arthurduh1 : 因此 dx 的「符號」運算 無法套用 實數的符號運算 04/02 11:30
推 arthurduh1 : 若 a 不是有理數，要說它是實數就要看你建構實數的 04/02 11:38
→ arthurduh1 : 方式，概括而言可以說用 實數完備性 04/02 11:39
→ wohtp : 請回去翻你的微積分教科書，我相信裡面根本沒有定義 04/02 11:52
→ wohtp : 過dx這個東西 04/02 11:53
→ wohtp : 只有∫dx 和 d/dx 這樣 04/02 11:54
→ wohtp : 當然你是在微積分「歷史」的部分看到 dx...正是因為 04/02 11:56
→ wohtp : dx那一套不能自圓其說，所以後來的人就把它給丟了 04/02 11:58
→ wohtp : 不過後來倒是又有好幾個相關的概念借了 dx 的符號 04/02 12:00
→ wohtp : 來用，像是 differential form 或 measure 04/02 12:00
→ wohtp : 那些和你的「需要它的時候它才不是零」的原始 dx 都 04/02 12:02
→ wohtp : 不一樣就是了 04/02 12:02
推 ERT312 : 其實有定義 dx 的微積分(初微)的書還滿多的 04/02 14:49
→ ERT312 : 不過我建議原po不要從數學史類的書學微積分 04/02 14:50
→ ERT312 : 應該從正統教科書開始看 04/02 14:51
→ sk90040 : 謝謝樓上各位，我是有讀好高三下的基礎微積分才唸 04/02 15:18
→ sk90040 : 初微的(教科書) 04/02 15:18
→ sk90040 : 最近是時間比較多才想看這方面的歷史 04/02 15:18
→ sk90040 : 不過其實市面上很多書對dx都只說是Leibniz Symbol 04/02 15:20
→ sk90040 : 然後dx是無窮小的意思 04/02 15:20
→ sk90040 : 然後就沒了 04/02 15:20
推 suhorng : 因為它剛發明的時候不清不楚, 大家說他不是零除來除 04/02 15:37
→ suhorng : 到底是什麼. 後來 Cauchy, Weierstrass 等人慢慢發 04/02 15:38
→ suhorng : 展出 ε-δ 作法, 現在標準微積分已經捨棄無窮小了 04/02 15:39
→ suhorng : 喔還有 Bolzano.. 04/02 15:40
→ suhorng : 再到後來有人發明出非標準微積分是另一回事了 04/02 15:40
推 sssh : 像Stewart就有寫到 dx.dy單獨運算只是為了方便記憶 04/02 16:57
推 alfadick : 題外話 不推台大微積分朱樺的開放式課程 04/02 20:14
→ alfadick : 他符號用得很不嚴謹, 我覺得對初學者是毒藥 04/02 20:14
→ alfadick : 對高手而言, 也不需要看那個就是了 04/02 20:15
→ alfadick : 建議找正統大學微積分書看就是了 04/02 20:15
→ alfadick : 但我也不推James Stewart的 04/02 20:16
→ alfadick : 沒看過大學微積分原文書 也千萬不要看科普書 04/02 20:17
→ alfadick : 會迷失掉 猶如走火入魔. 還不如找個正統微積分書看 04/02 20:17
→ yuyol : 樓上這麼不推Stewart,那請問有推薦的微積分書嗎? 04/03 00:17
→ yuyol : Stewart我只看到dy=f'(x)dx,有單獨運算嗎? 04/03 00:23
推 sssh : 蠻好奇樓樓上不推Stewart的理由？ 04/03 00:24
→ sssh : 我自己是覺得覺得蠻不錯的 04/03 00:25
→ yuyol : 符號是死的,人是活的,找出一套自己能理解的方式, 04/03 00:26
→ yuyol : 然後能正確地使用符號就好,不用硬爭論說, 04/03 00:28
→ yuyol : 自己的一套一定對,別人的一定錯云云. 04/03 00:28
推 jacky7987 : 也可以看非標準分析哈哈 04/03 00:39
→ yuyol : 還有阿,請問alfadick, 04/03 00:39
→ yuyol : 為什麼separable ODE可以整理成dy跟dx放等號兩邊? 04/03 00:40
→ yuyol : 還在等你的答案阿...(握紅筆閱卷準備) 04/03 00:53
推 craig100 : 蔡教授的 微積分的xxxx? 這本我讀過 寫得不怎麼樣.. 04/03 02:06
推 craig100 : http://tinyurl.com/zqchagq 04/03 02:15
→ Vulpix : 大概就是...dx比1小、比0.0038小、比0.5小、比你認 04/03 03:54
→ Vulpix : 識的隨便一個正數都還要小，所以不是正數。 04/03 03:55
→ Vulpix : 同樣地，dx也比你認識的任何一個負數還大，所以也 04/03 03:56
→ Vulpix : 不是負數。實數有三一律要遵守，所dx就只能是0囉？ 04/03 03:57
→ Vulpix : 但是dx/dx=1，0/0卻不能計算，所以dx也不是0。 04/03 04:00
→ Vulpix : 那dx到底是不是實數呢？ 04/03 04:00
推 woieyufan : dx=0+ 04/03 04:29
→ acsre : 在趨近於零的時候 能不能當零要看相對於什麼 04/03 07:58
→ acsre : 像dy/dx正是兩者都很微小 所以之間的關係才值得討論 04/03 08:00
→ whhw : 我是覺得這比較像高等微積分，dx不是實數是因為 04/03 21:13
→ whhw : 不存在任意r屬於實數，且r=dx 04/03 21:13
→ whhw : 就像無窮大也不屬於實數 04/03 21:13
→ wohtp : 其實重點是這樣：上面V大已經把 dx 不可能是實數的 04/04 00:51
→ wohtp : 理由說明了。所以那些把 dx 加減乘除，或者 **代進 04/04 00:51
→ wohtp : 實變數函數** 這些動作全部都違法，或者至少未定義 04/04 00:52