→ kerwinhui : 1/z is a harmonic morphism S^2->S^2, so ... 04/12 17:38
→ Vulpix : 這已經比複變更複變了吧@@ 04/12 17:51
難怪我去WIKI查關鍵字後覺得 我高微怎麼沒上過XDD
→ arthurduh1 : 是高微證代數基本定理的方法 04/12 18:02
願聞其詳 我目前知道的3個方法分別是複變 幾何 拓樸
高微的方法是??
※ 編輯: znmkhxrw (36.226.98.38), 04/12/2016 18:04:52
→ arthurduh1 : 應該說類似 04/12 18:03
→ kerwinhui : horizontally weakly conformal應該不用複變… 04/12 18:09
→ kerwinhui : 或者可以用高微證複變的open mapping theorem 04/12 18:12
這樣看起來的話似乎不是每一項搬一搬然後經由一些epsilon-delta 就能證出來的?
我原意是希望高微學完power series的性質後就能證出了 如果還需要證回複變的定理
或是用其他領域的性質的話 那我還是用複變的方法是最好說明的 謝謝囉!
原本是以為都是收斂半徑無限大的power series 了 應該搬一搬就出來了
看來是我想太多了XDDD
※ 編輯: znmkhxrw (36.226.98.38), 04/12/2016 18:19:36
推 arthurduh1 : 可能跟原PO說的幾何方法一樣 用三角不等式搬 04/12 18:26
→ arthurduh1 : 不過似乎不可行 04/12 18:27
→ Vulpix : 把maximal principle證一證用下去(誤) 04/12 18:27
→ Vulpix : 其實maximal principle也不非要用複變才能證就是了 04/12 18:31
→ znmkhxrw : 好奇如果用max怎麼做阿?? 以0為圓心 r為半徑的圓 04/12 18:35
→ znmkhxrw : │f│的最大值都在邊界上 之後r→inf 沒發現什麼@@ 04/12 18:35
→ arthurduh1 : 最大值會隨 r 遞增，但你又有 L 的條件 04/12 18:54
→ arthurduh1 : 所以整個函數會被 L bound 住 04/12 18:54
→ arthurduh1 : *更正，從上 bound 住, 然後再取個負號 04/12 18:55
→ arthurduh1 : max principle 就壞掉了 04/12 18:55
不太懂耶
再者 "整個函數會被從上 bound 住" 這句話直接從極限存在以及f連續就可以得到了
你論證的邏輯是這樣嗎
1.Show│f│<=M
2.取負號( 這邊我不知道是對誰取
3.max principle 就壞掉了
※ 編輯: znmkhxrw (36.226.98.38), 04/12/2016 19:02:30
推 arthurduh1 : 呃 我弄錯了 04/12 19:08
推 Vulpix : ∀ε>0, ∃R>0 s.t. |f-L|<ε ∀|z|>R 04/12 21:39
→ Vulpix : 圓內和圓上f-L的最大值在|z|=R 04/12 21:42
→ Vulpix : 頂多是ε，而且是一個全域上界。 04/12 21:45
→ Vulpix : 但這個上界是任意的，所以f-L=0 04/12 21:47
→ znmkhxrw : 了解了!! 題外話 如果條件改成f有界而非極限存在的 04/12 22:12
→ znmkhxrw : 話 用max證明的這套方法就失敗了?? 試了一下好像是 04/12 22:12
→ znmkhxrw : 如此 (雖然用Liouville還是秒殺XDD) 04/12 22:12
→ arthurduh1 : 因為你可以考慮一個絕對值都是常數 但不是 entire 04/12 23:07
→ arthurduh1 : 的複函數 所以一定還要加些條件 04/12 23:08
→ Vulpix : 沒有這種函數吧... 04/12 23:16
→ arthurduh1 : 有阿 好一點的就是 f(z) = conjugate of z 04/12 23:21
→ arthurduh1 : 例子給錯 f(z) = conjugate of z / |z| 04/12 23:23
→ arthurduh1 : 零點隨便取, 取 1 之類的 04/12 23:23
→ Vulpix : 嗯，這是一個不holo的例子。 04/12 23:28
→ Vulpix : 話說，[f(z)-f(0)]/z也是entire，對他用這題的結論 04/12 23:29
→ Vulpix : 就會得到f(z)=f(0)了。所以還是可以用最大模原理。 04/12 23:30
→ Vulpix : 忘了說，這裡的f(z)是bounded entire function 04/12 23:30
→ Vulpix : 反正就是說Liouville可以用最大模原理證明啦。 04/12 23:31
→ arthurduh1 : 對 我應該說不 holo 會更精確 04/12 23:32
→ arthurduh1 : 所以我說那是好一點的XD 04/12 23:32
→ arthurduh1 : 反了吧 Liouville 比 max principle 強多了 04/12 23:33
→ arthurduh1 : 也不是說強多了 但兩者的方向不一樣 04/12 23:34
→ arthurduh1 : 哦哦 我了解你的意思了 04/12 23:53
→ znmkhxrw : 原來Liouville 可以用Max證 謝拉~~ 04/13 02:50
→ kerwinhui : Average property可以直接用高微證，不過不會太嚴謹 04/13 09:16
→ kerwinhui : 而之後可以用Average propery證Max 04/13 09:16
→ kerwinhui : (只要知道有Poisson kernel這回事就行了) 04/13 09:19
→ kerwinhui : 或者可以直接用Poisson kernel證|f|<=L+epsilon 04/13 09:20
→ kerwinhui : 不過這兩種方法都似乎要用到C^2才能證uniqueness 04/13 09:24
推 Vulpix : 又回來推這篇了... 因為f的實部和虛部都harmonic 04/26 22:54
→ Vulpix : 而且各自趨近於L的實部和虛部(uniformly) 04/26 22:55
→ Vulpix : 所以先取一個正的d，然後-d<Re(f(z)-L)<d在某個圓外 04/26 22:57
→ Vulpix : 選一個圓心在w的很大的圓(落在剛剛那個圓外) 04/26 22:59
→ Vulpix : 那Re(f(z)-L)在這個圓上的平均會是Re(f(w)-L) 04/26 23:00
→ Vulpix : 所以-d<Re(f(w)-L)<d，又因為d任意，所以Re(f(w)-L) 04/26 23:00
→ Vulpix : 只能是0。同理Im(f(w)-L)=0。然後平面上每個w都可以 04/26 23:02
→ Vulpix : 這樣算一次，所以f(z)=L。 04/26 23:02