[機統] 加入某分布後的雜訊

[snobbery (egoist)]

假設有個1-dimensional data point x=5,
另外有個normal distribution N(3,2) with mean 3 and variance 2,
且有個變數v=3.5是從這個N(3,2)抽樣出來,
現在假設你只知道y=x+v=8.5與N(3,2)這個分布, 但是不知道x與v的值,
請問x是4的機率, 以及x是5的機率要怎麼算?

更general一點的問題是:

假設有個1-dimensional data point x,
另外有個normal distribution N(μ,σ) with mean μ and variance σ,
且有個變數v是從這個N(μ,σ)抽樣出來,
現在假設你只知道y=x+v與N(μ,σ)這個分布, 但是不知道x與v的值,
請問x是某特定值的機率要怎麼算?

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→ asdiy       : X=(y-v) 作轉換
→ kerwinhui   : absolutely continuous的話當然是零
→ kerwinhui   : 不過我想原PO不是想要這個case
→ asdiy       : P(X=5)=P(y-v=5)=P(v=y-5)
→ kerwinhui   : 我猜原PO想要likelihood而非機率
→ asdiy       : 好像是哦
→ doom8199    : p(x|y) = p(y|x)*p(x) / [ ∫p(y|x)*p(x) dx ]
→ doom8199    : 沒給 p(x), 就如 k大所說, 只能用 ML 估計
→ doom8199    : 另外第一段 v=3.5 這個是多打的, 要搞清楚觀測到的
→ doom8199    : 資料究竟為何