※ 引述《kipi91718 (正港台灣人)》之銘言：
: 大家好，首次發文發問請多指教。
: 我想請問以下式子的證明:
: http://i.imgur.com/TVjhvYk.jpg
: 如圖: summation n from k to infinity ( (n choose k)*2^(-n) ) = 2
: 有試過很多組合的性質和公式去拆解，但始終找不到一個我能求出和的形式，
: 不知道有沒有神手可以解答?
: 我可以奉上100P幣小心意給為我解惑的人，謝謝。
∞
Σ (1/2)^n * C(n, k)
n=k
∞
= (1 / k!) Σ (n)(n - 1)...(n - k + 1)(1/2)^n
n=k
∞
= (1 / k!) Σ u^k D^k [(u)^n] | D = d/du
n=k u = 1/2
= (1 / k!) u^k D^k [u^k / (1 - u)] |
u = 1/2
k
= (1 / k!) u^k Σ C(k, i)k(k-1)...(k-i+1)u^(k-i) (k-1)![1/(1 - u)]^(k-i+1)|
i=0 u = 1/2
k
= (1 / k!) u^k Σ C(k, i) k! u^(k-i)/[1 - u]^(k-i+1) |
i=0 u = 1/2
k
= (1 / k!) (1/2)^k Σ C(k, i) * k! * 2
i=0
= (1 / k!) (1/2)^k * 2 * 2^k * k!
= 2 QED
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