※ 引述《Honor1984 (希望願望成真)》之銘言：
: ※ 引述《kipi91718 (正港台灣人)》之銘言：
: : 大家好，首次發文發問請多指教。
: : 我想請問以下式子的證明:
: : http://i.imgur.com/TVjhvYk.jpg
: : 如圖: summation n from k to infinity ( (n choose k)*2^(-n) ) = 2
: : 有試過很多組合的性質和公式去拆解，但始終找不到一個我能求出和的形式，
: : 不知道有沒有神手可以解答?
: : 我可以奉上100P幣小心意給為我解惑的人，謝謝。
: ∞
: Σ (1/2)^n * C(n, k)
: n=k
: ∞
: = (1 / k!) Σ (n)(n - 1)...(n - k + 1)(1/2)^n
: n=k
: ∞
: = (1 / k!) Σ u^k D^k [(u)^n] | D = d/du
: n=k u = 1/2
: = (1 / k!) u^k D^k [u^k / (1 - u)] |
: u = 1/2
: k
: = (1 / k!) u^k Σ C(k, i)k(k-1)...(k-i+1)u^(k-i) (k-1)![1/(1 - u)]^(k-i+1)|
: i=0 u = 1/2
: k
: = (1 / k!) u^k Σ C(k, i) k! u^(k-i)/[1 - u]^(k-i+1) |
: i=0 u = 1/2
: k
: = (1 / k!) (1/2)^k Σ C(k, i) * k! * 2
: i=0
: = (1 / k!) (1/2)^k * 2 * 2^k * k!
: = 2 QED
給一個用生成函數的證明
令 a_k = Σ_{n≧0} 2^{-n} C(n,k)
=> Σ_{k≧0} a_k z^k = Σ_{k≧0}Σ_{n≧0} 2^{-n} C(n,k) z^k
= Σ_{n≧0} 2^{-n} (1+z)^n = 2/(1-z) = Σ_{k≧0} 2 z^k
故 a_k = 2 for all k≧0
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