Re: [複變] 全純函數的平方是線性必常數

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 做題目時卡在最後一個關鍵 99%是對的
: 可是證好久都證不出來:
: if f is entire function and f^2 = az+b
: then a=0
: 這件事情應該是對的吧，可是用冪級數展開會出現一堆係數打架比不出什麼結果
: 嘗試微分後發現f*f’=nonzero constant  之後也找不到任何使微分項為0的關鍵
: 謝謝解惑!

也可以直接算冪級數展開

但要分兩個case

i) b=0

   f^2 = az，這可以直接算出 a=0

ii) b!=0

   f^2 = az+b  =>  f = b^0.5 * [ 1 + (a/b)z ]^0.5

   b^0.5 可以有兩種選擇，對應到兩個 f，很合理

   [ 1 + (a/b)z ]^0.5 的展開可以用你的 a_n，也可以用二項式展開

   （因為Laurent expansion是唯一的，所以都一樣）

   然後算 limsup|a_n| = |a/b| 這是收斂半徑(\inf)的倒數

   所以 a = 0

這個做法比較累，因為 i 其實跟平移的做法一模一樣，等於是多做了一些事

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推 znmkhxrw    : 了解! 謝謝你~~~
→ Vulpix      : 又想到一個用maximum modulus thm.的作法了哈。
→ Vulpix      : 若a!=0, f(-b/a)=0 => f(z)/(az+b) is entire
→ Vulpix      : (其實好像是用Liouville's thm.)
→ Vulpix      : f(z)/(az+b) is bbd. by |az+b|^-0.5
→ Vulpix      : 在 z=-b/a 那附近也沒關係，因為 f(z)/(az+b)
→ Vulpix      : entire，所以連續，所以那附近也被限制住了。
→ Vulpix      : 所以可以找到 f(z)/(az+b) 的 global bound
→ Vulpix      : 因此 f(z) = c(az+b)，代回原式比較係數就OK了。
推 znmkhxrw    : 這個讚! 我本身對z開根號覺得需要取branch覺得抖抖
→ znmkhxrw    : 的 但是這個是絕對值後再開根號就沒問題了 喜歡這
→ znmkhxrw    : 個!
→ Vulpix      : 其實文中的作法...[ 1 + (a/b)z ]^0.5只是記號而已
→ Vulpix      : 實做就是設a_n解方程，所以其實沒什麼須要抖的。