Re: [中學] 負數的1/3以及2/3次方

[jeromeshih (以謹慎態度來面對問題)]

※ 引述《jeromeshih (以謹慎態度來面對問題)》之銘言：
: 這題是出現在微積分內,不過探討符號範圍感覺是指數的定義
: 在課本內是要計算 (6-x)^(1/3) 及 (6-x)^2/3,當x>6
: 而給出的答案是 (x-6)^(1/3) < 0,當x>6
:                (x-6)^(2/3) > 0,當x>6
: 但當x>6,會出現負數開根號的問題
: (6-x)^(1/3) = (-1)^(1/3)*(6-x)^(1/3)
: (-1)^(1/3)=-1還可以理解
: 但是
: (6-x)^(2/3) = (-1)^(2/3)*(6-x)^(2/3)
: 感覺這樣直接代換是有問題
: 因為(-1)^(2/3)在符號順序要如何計算,先負號還是先次方
: 算出來的結果會是什麼
: 是否可以請大家給點建議
: 感謝

抱歉,還是同樣的問題,

(6-x)^(1/3),當x>6的情況

但在提供說明時對方問到:
   目前指數律以及指數函數a^x的設定是a>0
   但沒有說明過底數為負的時候的指數函數以及指數律要如何計算以及延伸

但此本課本其實沒提出多值函數的部分就引入此計算方式

想問是否有辦法用高中的複數來理解此想法

謝謝






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推 LPH66       : 如同前面推文講的, 一扯到複數不管幾次方根都有得吵
→ LPH66       : 這「有得吵」的意思即是所謂的多值函數
→ LPH66       : 之所以不得不訂為多值函數的原因是有一好沒兩好
→ LPH66       : 指數律無法全部滿足只好勉強一把抓
→ LPH66       : 這也才是為什麼到初微為止講指對數都限範圍在談
→ LPH66       : 要到複變才有足夠理論對這東西作完整的描述
→ LPH66       : 課本那樣寫我認為可以當作課本作者不嚴謹
→ LPH66       : 也就是我認為那是不該在初微課本上出現的東西
推 suhorng     : 你可以不要寫指數寫成根號 這樣奇數次根號就很好定
→ suhorng     : 義了
→ Desperato   : 簡單來說 i^2 = -1, (-i)^2 = -1
→ Desperato   : 所以(-1)^(1/2)可以是 +i 或 -i
→ Desperato   : 即使是 (-1)^(1/3) 也有-1, (1/2)+-sqrt(3)/2 三值
→ Desperato   : 負實數的問題 正實數當然也有 1^(1/4) = +-1, +-i
→ Desperato   : 可是正實數有個好處 a^(1/n) 的 n 解中
→ Desperato   : 一定存在唯一一個解是正實數 例如1^(1/4)的是1
→ Desperato   : 所以在實數的範圍 我可以定義1^(1/4)就是那個1