[分析] 證明無窮多根

[tiwsjia (佳佳)]

令 A, B 是 n 階實矩陣，B 可逆，證明或否證

det ( x - A - e^{-x} B ) = 0

有無窮多複數根 x。

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已知：

當 n = 1 時已知有無窮多複數根。
當 AB = BA 且 B 可對角化時可化約成 n = 1。

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問題動機：

考慮延遲線性常微分方程：y'(t) = Ay(t) + By(t-1)  y 是 R^n 中的向量
因為線性，代入特解 y(t) = ce^{xt}，則特徵值 x 滿足該行列式方程式。

非常感謝！

佳佳

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推 arthurduh1  : 特解 c 的地方應該要是向量吧
→ arthurduh1  : 要讓這方法 work, c 還要同時是 A, B 的 eig. vec.
推 arthurduh1  : 由這個觀點就可以發現 AB 不等於 BA 時可能會有反例
→ arthurduh1  : 比如 A=[1,0; 0,0] B=[0,0; 1,0], det=x^2-x 僅兩根
→ tiwsjia     : 感謝，請問有沒有 B 可逆（invertible）的例子？
推 arthurduh1  : 上面的 A 和 B 各加一個 I 即可
→ tiwsjia     : 上例的話行列式等於零等價於 x - 2 -e^{-x} = 0
→ tiwsjia     : 或 x - 1 - e^{-x} = 0，已知這兩式子都有無窮多
→ tiwsjia     : 複數根。
推 arthurduh1  : 我懂了 你的方法沒有錯
→ arthurduh1  : 先假令 exp(-x) = y, 並忽略他與 x 之間的關係
→ arthurduh1  : det( x-A-yB ) = det( B (x-A) B^{-1} - y )
→ arthurduh1  : 要使此式=0，等價於使 B (x-A) B^{-1}
→ arthurduh1  : 有 eig value y, 也就是 x-A 有 eig value y.
→ arthurduh1  : 等價於 det(x-y-A)=0 接著就簡單了
→ arthurduh1  : 喔不我上面弄錯了
推 arthurduh1  : det( x-A-yB ) = det( (x-A) B^{-1} - y )
→ arthurduh1  : 而若 det((x-A) B^{-1}) 有根 x=a_1, a_2,...
→ arthurduh1  : 則 det( (x-A) B^{-1} - y )=(x-y-a_1)(x-y-a_2)...
→ arthurduh1  : 因此必有根
→ arthurduh1  : 又弄錯了 不要理我QQ
推 arthurduh1  : 我在下面回一篇了