[分析] 複變Laurent series定義問題

[znmkhxrw (QQ)]

先附上問題本身，後面在講問題動機與觀察

(1)
              -1                  m
L(z):= lim    Σ  a_k*z^k + lim  Σ   a_k*z^k , 0≦r<│z│<R≦∞
      n→-∞ k=-n          m→∞  k=0

(2)

             n
L(z):= lim  Σ   a_k*z^k , 0≦r<│z│<R≦∞ , 0≦r<│z│<R≦∞
      n→∞ k=-n


上面這個兩個定義，(1)=>(2)，但是(2)是否能證到(1)，若否是否有反例？


---------問題動機與觀察-------------------------------------------------------

一般說定義Laurent series是：

以0展開來說
       ∞
L(z):= Σ   a_n*z^n , 0≦r<│z│<R≦∞
      n=-∞

接著問題就在於極限定義：

(1)
              -1                  m
L(z):= lim    Σ  a_k*z^k + lim  Σ   a_k*z^k , 0≦r<│z│<R≦∞
      n→-∞ k=-n          m→∞  k=0
      ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^  ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
           :=P(1/z)               :=A(z)

(2)

             n
L(z):= lim  Σ   a_k*z^k , 0≦r<│z│<R≦∞ , 0≦r<│z│<R≦∞
      n→∞ k=-n

很明顯 (1) implies (2)

選擇(1)當定義的話一切都很好，可以證出一堆好性質諸如：

1.L(z)在環中的任何compact set都是均勻收斂

2.微分跟積分可以逐項搬進去(而由積分可以搬進去，可以證出Laurent series的唯一性)

而且，這定義不會刻意的定義太強，因為本身應用到f€Hol(0≦r<│z│<R≦∞)的話

我們可以把f(z)展成Laurent series on 0≦r<│z│<R≦∞

而其證明就直接是證出(1)的形式，所以也不用擔心


接著就只是出於好奇，如果有一個Laurent series L(z)滿足(2)，是否能證出滿足(1)

目前我是證出：

給一個滿足(2)的L(z)，如果存在一個點z_0使得(1)發散

則表示P(1/z_0)與A(z_0)皆發散

接著經過論證可以證出P(1/z)與A(z)在整個0≦r<│z│<R≦∞全部發散

接著試了好久完全證不出矛盾也找不出反例

因為不能用在compact均勻收斂、微積分搬進去這些好性質(他們是基於(1)才證出的)


我當然相信是矛盾的，因為1/z^k跟z^k感覺不太可能抵銷，但是就是證不出來QQ

有相關的結果或是反例嗎？謝謝！

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1461392701.A.3F7.html
推 arthurduh1  : 可以不失一般性假設 r<1<R
→ arthurduh1  : 然後你那個 A(z) 的係數重複了 我改成 b_k 好了
→ arthurduh1  : 接著代入 z=1, i, 會得到 lim |a_k+b_k| 以及
→ arthurduh1  : lim |a_k-b_k| 皆要小於等於 1
推 arthurduh1  : 於是有 limsup |a_k| 及 limsup |b_k| <= 1
→ arthurduh1  : 再套入 root test 即可
→ arthurduh1  : 不過我懷疑能夠有更強的結論 比如不可能有兩點收斂
→ arthurduh1  : 恩你係數沒重複 就當我的 b_k=a_{-k} 好了
→ arthurduh1  : 上面帶 1, i 只能解決奇數項QQ
→ arthurduh1  : 當然可以用帶更高次的 primitive root 解決
→ arthurduh1  : 不過就變醜了
→ arthurduh1  : 不行呢 用高次也無法解決
→ znmkhxrw    : 好高興喔 我只是沒打出來我試了什麼 好幾個小時試了
→ znmkhxrw    : 很多方向 你講的我也有試過!!  只是還是沒有什麼結
→ znmkhxrw    : 果
→ znmkhxrw    : 目前就把定義下的強一點 然後看版友們有沒有已經知
→ znmkhxrw    : 道關於弱定義的討論
→ znmkhxrw    : 謝謝你幫忙想
→ arthurduh1  : 上面 z=1 應該要得到 lim |a_k+b_k| = 0
→ arthurduh1  : 接著找一個稍大於 1 的實數 y<R, 會有
→ arthurduh1  : lim |a_k y^k +b_k y^{-k}| = 0
→ arthurduh1  : 最後 lim |a_k| ≦ lim |a_k||y^k-y^{-k}|
→ arthurduh1  : ≦lim |a_k y^k + b_k y^{-k}| + |a_k+b_k||y^{-k}|
→ arthurduh1  : =0   上面有些 lim 要改成 limsup
a大謝謝你  我明天check一下你這些

只是有個問題是 你不失一般性假設r<1<R

這個的來源是？

我自己是有證出以下事情：

If L(z) = P(1/z) + A(z) under the definition (1)

then R_A*R_P > 1

其中R_A是A(z)這個power series的收斂半徑，R_P是P(z)這個power series的收斂半徑

即便是用此定義，也只有R_A*R_P > 1，並沒有r<1<R

更何況是基於definition (2)，什麼都沒有

因此想請問一下你這邊怎麼過去的，因為看你證明有用到"r<1<R"這一步

謝謝
※ 編輯: znmkhxrw (36.226.99.183), 04/24/2016 01:18:15

check了你說的r<1<R的情況下最後那幾句推文 導出了a_n→0

進而有b_n→0，然後就...QQ

這兩個條件只能說明R_A跟R_P都<=1 好像也無法再推出什麼??
※ 編輯: znmkhxrw (36.226.99.183), 04/24/2016 02:09:47
推 arthurduh1  : R_A*R_P 等價於 r<R 是因為定義域非空而來
→ arthurduh1  : 上面漏個 >1, 是 R_A*R_P 等價於 r<R
→ arthurduh1  : r<1<R 只是簡單的變數代換，讓 domain 包進 1 就好
→ arthurduh1  : 只是方便計算，沒有這步也可以做
→ arthurduh1  : 變數代換這裡是伸縮，也就是 z -> cz, c 不等於 0
→ arthurduh1  : |a_n|→0 就是我們要的，用 root test
→ arthurduh1  : 會知道R_A跟R_P都<=1，這你會
→ arthurduh1  : 所以兩邊都是好的 Taylor series 可以分別取極限
→ arthurduh1  : 就是 definition (1)
→ arthurduh1  : 不過這裡好的部分是分別在 unit circle 的兩邊
→ arthurduh1  : 所以會需要 definition (2) 的定義域是定義在
→ arthurduh1  : open annulus 上
→ arthurduh1  : 因此尚保有強化的可能，可以再想想
不好意思我還是看不出矛盾耶 舉個例子
給一個A(z) with R_A=1/2, P(z) with R_P=1/2

那會發現
A(z) 在│z│< R_A=1/2 收斂 外面發散
P(1/z) 在│z│>1/R_P=2 收斂 裡面發散

所以L(z)=A(z)+P(1/z) 在definition(1) 下在1/2<│z│<2是發散的

但是就不知道在def(2)下是否會因為部分和互相抵消而收斂

這個例子(隨便舉都有), 符合R_A,R_P都非大於1
※ 編輯: znmkhxrw (42.73.141.111), 04/24/2016 10:52:51
→ arthurduh1  : 上面就是證說不可能啊@@，假設相消了
→ arthurduh1  : 因為你現在例子是 r=1/2, R=2, 我可以代 z=1, 1.5
→ arthurduh1  : 照著上面的式子證出 R_A, R_P 皆至少為 1
→ arthurduh1  : 就跟你 R_A=1/2 矛盾了
→ arthurduh1  : 這邊我的意思是如果 1/2<│z│<2 全部抵銷了
→ arthurduh1  : 當然有可能沒有，而一點抵銷的情況是有可能的
→ arthurduh1  : 上面的證明 y 可以是任意實數(要記得用 limsup)
→ arthurduh1  : 於是問題就只剩下有沒有可能 R_A=R_P=1
→ arthurduh1  : 但剛好在 r=1 這圈的某些點消掉了
→ arthurduh1  : (上面我要說 y 是任意複數...，不等於1)
推 arthurduh1  : 而且不幸的是，依照第一段推文的 idea，是有可能在
→ arthurduh1  : r=1 的非常多點都相消
咦 你推文說到 :
照著上面的式子證出 R_A, R_P 皆至少為 1

可是你應該是證出“至多”為1吧 所以我才發現沒有矛盾@@
※ 編輯: znmkhxrw (42.73.197.205), 04/24/2016 19:33:27
→ arthurduh1  : 是至少吧???  root test
→ arthurduh1  : R_A = 1/(limsup |a_k|^{1/k}) 大於等於 1
→ arthurduh1  : 是說上面又要更正了，y 是任意複數，|y|不等於1