※ 引述《jimmy451399 (兄弟兄弟兄弟加油！！！)》之銘言：
: ※ 引述《wesley0513 (衛斯理)》之銘言：
: : 三角形ABC為銳角三角形
: : P為A在BC邊上的垂足
: : Q為B在CA邊上的垂足
: : R為C在AB邊上的垂足
: : 若線段PQ+QR+RP=1
: : 求AP*sinA=?
: : 請各位高手幫忙了!謝謝
: 假設H為垂心
: 首先，ARHQ四點共圓 => RQ/sin(180'-A) = AH
: => RQ=AH*sinA ----(1)
: 同理， PQ = CH*sinC ----(2)
: RP = BH*sinB ----(3)
: 由(2) PQ = CH*sinC = CH*sin(A+B)
: = CH*(sinAcosB+cosAsinB)
: = (CH*cosB)sinA + (CH*sinB)cosA [角B=角CHP]
: = HP*sinA + CP*cosA -----(4)
: 由(3) RP = BH*sinB = BH*sin(A+C)
: = BH*(sinAcosC+cosAsinC)
: = (BH*cosC)sinA + (BH*sinC)cosA [角C=角BHP]
: = HP*sinA + BP*cosA -----(5)
: (1) + (4) + (5)
: 1 = RQ + PQ + RP = 2(HP*sinA) + AH*sinA + BC*cosA
: {又 AH = BC*sinC*cotA*cscC => BC*cosA = AHsinA}
: 故 1 = 2(HP*sinA) + 2(AH*sinA)
: = 2(AP*sinA)
: 故 AP*sinA = 1/2
將D點作CA,AB高線
分別交於G,I兩點為垂足
可知G,A,I,D亦"四點共圓"
2Δ= DA*a = DA*(2R sin A) = 2R(DAsinA) = 2R.GI
Δ=R*GI=(R/2)(DE+EF+FD)
GI=DAsin(pi-A)=DAsinA=1/2
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