[其他] 分享不存在無窮質數等差數列的幾種證明

[zyymat (Power Beauty)]

不存在無窮質數等差數列. 下面是幾種證明，不全部是我的想法

設等差數列的首項為 a, 公差為 d.

證明 1
分兩種情況:
‧      a=1. 此時 1+(d+2)d=(d+1)2 是合數;
‧      a. 此時 a+ad=a(d+1) 是合數.
證明 2
連續合數可以任意長, 這是熟知的. 不曾想,  一個副產品居然就是我們的目標.
(m+1)!+2,(m+1)!+3,…,(m+1)!+m+1 是 m 個連續合數.
證明 3
稍強一點的結果 採用完全剩餘系
取一個與公差 d 互質的正整數 m,
a,a+d,a+2d,…,a+(m)d
將跑遍 modm 的完全剩餘系, 於是必有一項 ≡0(modm).
證明 4
這個結論也是熟知的: 不存在多項式
f(x)=Σi=0maixi,
使得對於任意 n∈N,f(n) 都是質數.
證明 5
這個高級一點點: 採用自然密率 (natural density 或 asymptotic density), 而不是更
常見的 Schnirelmann 密率 (Schnirelmann density).
由質數組成的集合的 asymptotic density 是 0, 而等差數列形成的集合的 asymptotic
density 為正.
證明 6
使用中國剩餘定理證明”連續合數可以任意長”的加強版.
任取 n 個兩兩互質的正整數 m1, m2, …, mn. 存在正整數 a, 使得
mi|(a+i),i=1,2,…,n.

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推 ntust661    : 推～
→ ntust661    : 想找質數不容易啊qq