Re: [分析] 證明無窮多根

[arthurduh1 (arthurduh1)]

※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之銘言：
: 令 A, B 是 n 階實矩陣，B 可逆，證明或否證
: det ( x - A - e^{-x} B ) = 0
: 有無窮多複數根 x。
: ＿＿＿＿＿
: 已知：
: 當 n = 1 時已知有無窮多複數根。
: 當 AB = BA 且 B 可對角化時可化約成 n = 1。
: ＿＿＿＿＿
: 問題動機：
: 考慮延遲線性常微分方程：y'(t) = Ay(t) + By(t-1)  y 是 R^n 中的向量
: 因為線性，代入特解 y(t) = ce^{xt}，則特徵值 x 滿足該行列式方程式。
: 非常感謝！
: 佳佳


令 e^{-x} = y

則 det ( x - A - e^{-x} B ) = det ( (x-A)B^{-1} - y ) det(B)

                = det(B) ( y^n + p_{n-1}(x) y^{n-1} + ... + p_0(x) )

                := det(B) f(x, y)

其中 p_i(x) 為 x 的多項式，且 p_0(x) 為一非零、 n 次多項式



現在 g(x) := f(x, e^{-x}) 為一個 holomorphic function

且 lim_{x→∞} g(x) 發散

因此由 holomorphic 函數性質， g(x)=0 有無限多解，

連帶著原式也是

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※ 編輯: arthurduh1 (140.112.230.45), 04/24/2016 22:29:14
推 tiwsjia     : 非常感謝，我嘗試猜一下你的論證：
→ tiwsjia     : g 是 entire 且非多項式，依照 big Picard's 定理
→ tiwsjia     : g(x) = y 有無窮多根，對於所有最多除了一個的複數y
→ tiwsjia     : 現在問題是我不確定 y = 0 會不會剛好被排除
→ arthurduh1  : 你沒說錯 我們再想想
我想到了

模仿 n=1 時的做法：

y^n + p_{n-1}(x) y^{n-1} + ... + p_0(x) = 0 等價於

                 - exp(x) p_0(x)
  ----------------------------------------------  = 1
   y^{n-1} + p_{n-1}(x) y^{n-2} + ... + p_1(x)


左式在 ∞ 處有 essential singularity

由 Great Picard's Thm., 頂多只有一個值 s 不被取到 infinite 次

但左式僅在 p_0(x)=0 時會等於零

因此那個 s 就是 0
※ 編輯: arthurduh1 (140.112.230.45), 04/25/2016 04:13:40