Let H, K be finite subgroups of a group G . Show that
|HK|=|H|K| /|H∩K| .
考察映射
π:(H×K)×HK→HK
((h,k),x)-----hxk^-1 .
容易驗證, 這確是群 H×K 在集合 HK 上的一個作用.
注意, e∈HK , 以及 π((h,k^-1 ),e)=hk , 因之 Orb(e)=HK . 此外, π
((h,k),e)=e 蘊涵 hk^-1=e . 於是, Stab(e)={(h,h)∣h∈H∩K} , 進而
|Stab(e)|=|H∩K| .
然後, 由 the Orbit-Stabilizer theorem 就得到了想要的結果
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