[複變] 實軸是唯一實值的全純函數至多一零點

[znmkhxrw (QQ)]

題目是：

if f is entire function and f(x) is real if and only if x is real

then f has at most one zero.
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這個如果用argument去繞的話可以證出來 ( lnf(z)=ln│f(z)│+arg(f(z)) )

想請問有沒有其他方式??

像是armument principle , Rouche's theorem都有兩種證法，一種是繞的方法
另外一種是純分析證法。

以下是努力了快2天的一些觀察
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(a) 由題目可得到零點都會在實軸

(b) f只會有兩種可能 *把上半平面打到上半平面以及把下半平面打到下半平面*
                    *把上半平面打到下半平面以及把下半平面打到上半平面*

            ___
              _
(c) f(z) =  f(z)


之後朝著兩個方向去做 只是(b)跟(c)都沒用到= =

==Approach i==

考慮infinity的singularity 如果是revoable則矛盾

如果是pole 那f就是polynomial 之後我證明了degree若大於等於2就會矛盾

剩下只要證明如果是essential的話也矛盾 就證完了

但是證不出來@@

這邊我覺得兩個地方怪怪的

(a) 如果essential真的矛盾 那代表原題目的結論可以加強到f只能是一次多項式
    這也太強

(b) 如果essential沒有矛盾 那真的存在一個非多項式的全純函數
    使得f(x) is real if and only if x is real

    有例子嗎??

==Approach ii==

假設存在兩個零點x_1 x_2 則很容易證明存在一個實數r在這兩個零點裡面

使得f'(r)=0

想用這個去導矛盾 但是展開後頂多寫成f(z)-f(r)=a_k(z-r)^k+......  k>=2
                                             ^^^^^^^^^^^^^^^^^
                                              令為 A(z)

就導不出矛盾

之後google到相關證明 http://goo.gl/VDqiTP

但是他證明的關鍵在於可以把A(z) locally 表示成某個h(z)的k次方

也就是說 A(z) = (h(z))^k <=> h(z) = (A(z))^1/n

但是我頂多只能把A(z)寫成 (z-r)^k*B(z)

所以一個解析函數的n次方根是否可以像z的n次方根那樣locally defined

如果可以的話 就證完了

不過我猜想在define的過程中 會用到lnf(z)=ln│f(z)│+arg(f(z))這套系統

真是如此的話 好像就等於白繞一圈的感覺 初衷就是想要用其他方法證明


謝謝

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→ kerwinhui   : 是的，結論是f(z)=ax+b，a,b real, a != 0
→ kerwinhui   : B(z)=a_k+a_{k+1}z+...之後用(1+w)^{1/k}的series
→ kerwinhui   : 得(1+c_{k+1}z+...)^{1/k}=1+(c_{k+1}z+..)/k+...
→ kerwinhui   : 不需要用都log, arg
→ ruj9vul3    : 剛好是複變期中考題(XDD
→ znmkhxrw    : 樓上是114的嗎@@
→ znmkhxrw    : 謝謝k大 我看看