[微積] 一道關於sup的問題

[Erofen (艾若帆)]

最近想了幾天了，題目是sup (x^2-ln(1+x^2))/(x^4), for x≠0.

從他的定義的地方實在很容易猜出答案應該是當x→0時的極限。
透過一些計算以及圖形也很容易發現在x>1時的時候圖形都遞減，式子也表明他是偶函數。

所以我就集中在x=0附近的行為來考慮，可是把這個函數丟入Google或是其他的數值計算
器中都會發現數值忽大忽小，很嚴重。

所以原先認為答案應該靠近1/2，現在又開始想會不會其實這個函數會發散至無窮，
希望大家給一點提示，謝謝！

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推 suhorng     : ln(1+x^2)=x^2-x^4/2+O(x^6)   x small
→ wohtp       : http://i.imgur.com/gyo4WC1.png
→ wohtp       : 忽大忽小一定是你算錯了
推 t0444564    : 樓上的scale也太大了吧, 如果尺度放在-.005至.0005
推 suhorng     : 尺度很小的話不是 = 1/2 - x^2/3 + x^4/4 - x^6/5
→ suhorng     : + O(x^8) 嗎?
→ suhorng     : 數值計算器正常來講都是有限精度的計算喔
→ wohtp       : https://goo.gl/ZyJDxL   小尺度，可是這能信嗎？
→ wohtp       : 級數展開得到  \sum (-x^2)^n/(n+2)
→ wohtp       : 跟 log(1+x^2) 的級數相比就知道它在 |x| < 1 時都
→ wohtp       : 絕對收斂
→ wohtp       : 所以級數跟函數可以掛等號沒問題
→ wohtp       : 然後級數的和會被 1/2 +- log(1-x^2) 上下綁住
→ wohtp       : 所以在 x = 0 附近不應該震盪，更不會爆炸
→ wohtp       : 注意分子是兩個很靠近的數字相減。若 x = O(10^-4)
→ wohtp       : 分子兩邊的leading order是 x^2，減完剩下 x^4
→ wohtp       : 一來一往就先噴掉整整八位的有效位數
→ wohtp       : 然後離開 x -> 0 極限多遠是下一項在控制的，所以又
→ wohtp       : 要再噴掉額外的八位有效位數才能開始看到這個。
→ wohtp       : 所以你需要遠多出16的有效位數才能精確計算 0.0001
→ wohtp       : 附近的函數走向
→ wohtp       : 但是32bit double也不過給你16位數，爆炸很正常
→ kerwinhui   : 是64bit double吧？32bit是single (Cray除外)
推 t0444564    : 好像有道理耶Q
→ wohtp       : 好唄我記錯了是64bit
→ wohtp       : 不過16位數沒錯，所以以上推論還是對的
→ wohtp       : 如果你要用電腦計算這個函數在 |x| < 0.0001 與極限
→ wohtp       : 值的差異，正確的做法是用手先幫電腦減掉1/2，然後
→ wohtp       : 級數展開到 x^6，這樣你才可以保住全部16個有效位數
→ kerwinhui   : 我猜原PO是直接叫log(1+x^2)而非log1p(x^2)
→ wohtp       : 其實我也是直接叫log(1+x^2)，不過wolframe alpha
→ wohtp       : 夠聰明的樣子 XD
→ wohtp       : 如果那個 1 也有差的話，還要再多噴掉x^2有效位數
→ wohtp       : 那應該會更早爆炸
→ wohtp       : 所以我恨死數值計算了，明明數學都是對的，搬到電腦
→ wohtp       : 上面這裡不行那裏不行...