Re: [複變] 實軸是唯一實值的全純函數至多一零點

[LimSinE (r=e^theta)]

保留題目

if f is entire function and f(x) is real if and only if x is real

then f has at most one zero.

可用open mapping principle

設 f 有兩個零點a,b，則 f在開區間 (a,b) 有極大值或極小值 (否則會導致f=0)
可設為f(c)為極小值，但這麼一來，存在c的鄰域U
使 f(c) 屬於 f(U) 交集 R 包含於 [f(c),無限大)，f(U) 非開集矛盾

注：由此可見，題目中的entire非必要。

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                                代數幾何觀點！
                          Algebro-Geometrical Aspect!

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推 znmkhxrw    : 嗨嗨 有個地方有問題 我先陳述一下你的論點看是不是
→ znmkhxrw    : [f(c),inf) is not open in complex plane
→ znmkhxrw    : but f(U) is open in complex plane, contradiction
→ znmkhxrw    : 如果邏輯是這樣的話 有個大問題是 你的U是??
→ znmkhxrw    : 如果U=(c-r,c+r) 那open mapping不能用吧
→ znmkhxrw    : 因為open mapping是說把C中的開集打到C中的開集
→ znmkhxrw    : 如果U=ball with radius r, centered at c
→ znmkhxrw    : 雖然可以用open mapping，但是就沒有f(U)包含於
→ znmkhxrw    : [f(c),inf)而去導出矛盾了
→ znmkhxrw    : 我有誤會你的論證嗎?? 謝謝!
→ LimSinE     : U open in C => f(U)交集R open in R, 就會矛盾。
推 znmkhxrw    : 不好意思這邊我不太懂耶 你寫 U open in C 那U就是
→ znmkhxrw    : ball with radius r, centered at c
推 znmkhxrw    : 沒事 看懂矛盾了 謝謝!!
→ ruj9vul3    : 你忘了算重根數
→ kerwinhui   : 是可以不用entire但要有open map…其實也差不了多少