[微積] e的極限證明題

[iddee ()]

證明 lim(n->oo) (1 - 1/n)^n = e^-1


Hint:利用二項式定理說明 lim(n->oo) (1 - 1/n^2)^n = 1

書上定義 e = lim(n->oo) (1 + 1/n)^n，
剛開始無任何高等方法可用。

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                             當思緒釐清
                                才發現當時的自己
                                  真是  傻的可以......

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推 wayne2011   : 1+C(n,1)(-1/n^2)+C(n,2)(-1/n^2)^2+...=1-(1/n)+(n
→ wayne2011   : -1)/(2n^3)+...=1-(1/n)+[(1/n^2)-(1/n^3)]/2-...
→ wayne2011   : 照提示可知為1後,[lim(n->oo)(1 - 1/n)]*e=1,lim(n-
→ wayne2011   : >oo) (1- 1/n)^n=e^(-1),即為所證.
→ wayne2011   : 會給提示是在於求出1之後,將之"因式分解"可分拆極限
→ yhliu       : (1-1/n^2) = (1+1/n)^n (1-1/n)^n
→ yhliu       : 如能證明 (1-1/n)^n 之極限存在, 及 (1-1/n^2)^n 之
→ yhliu       : 極限為 1, 即證明了 (1-1/n)^n 之極限為 1/e.