[中學] 聯立方程式解題過程的想法

[harry921129 (哈利~~)]

        遇到過一個題目

        x^2+2xy+y^2=4x
        y^2-2xy+6x=5y

        解出x,y

        此提解法 大多會用y=tx代入 解出t 再帶回 得到達案

        在此我有兩個疑問

        1.為何此題 y=tx,也就是y為何一定是x的一次函數?
          不能是二次或三次... 另外
          為何不能 y=tx+c ?

        2.我們說 要求出解(非無限解)
          那麼有幾個變數就需要有幾個方程式才能解出來
          這是一定的嗎?
          這要如何證明呢?

        3.承2, 兩個變數需要兩個方程式 三個變數需要三個方程式
          所謂的需要幾個方程式 並不保證一定用方法(動筆)方式解出
          而是保證可求出解 立如說 用電腦也可算出....

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→ sean50301   : 用矩陣解
推 Vulpix      : 只是因為這樣做可以分離變數
→ Vulpix      : 1.沒有人說是x的「一次」函數，t只是y/x而已。
→ Vulpix      :   而為了不要排除x=0的情形，所以直接寫成y=tx。
→ Vulpix      : 2.不一定，國中也學過相依方程，x+y=1和2x+2y=2就
→ Vulpix      :   沒有有限組解。至於你想證明的東西請去學習環論與
→ Vulpix      :   代數幾何……這幾門學問剛開始就是為了解決這類
→ Vulpix      :   問題而開始的。
→ Vulpix      : 3.這又是另一個問題了，演算法。而各種演算法還取決
→ Vulpix      :   於你的一堆方程式中沒有不小心多寫的(相依)、還有
→ Vulpix      :   奇異點的種類(要是方程組的解剛好是奇異點)等等。
→ Vulpix      :   而這些還是要進入代數幾何(所以到高中為止都只教
→ Vulpix      :   平面、直線，頂多再多講圓錐曲線，因為這些東西
→ Vulpix      :   已經被數學家摸透了，而其中有很多東西可以讓未滿
→ Vulpix      :   18歲的少年學懂，再多的就是18X限制級了)
推 putintostyle: 我會選擇分情況
→ putintostyle: 如果x=y=0→done
→ putintostyle: 如果x=/=y=/=0
→ putintostyle: 所有人/xy
→ putintostyle: 然後再用t=x/y
→ Vulpix      : 3.還有一些比較普通的作法，常常都是迭代，可是
→ Vulpix      : 真的有奇異點的時候還是很麻煩。
→ alfadick    : 第3個問題在代數幾何好像有發展出很多重要的成果