Re: [中學] 三角函數求值

[bingogo (很想認識你)]

※ 引述《bingogo (很想認識你)》之銘言：
: 令 W = cos(2π/17) + isin(2π/17)
: 求 (1) W + W^2 + W^4 + W^8 + W^9 + W^13 + W^15 + W^16
:    (2) W^3 + W^5 + W^6 + W^7 + W^10 + W^11 + W^12 + W^14
: 希望高手幫忙解答，感謝!

  令 Z1 = W + W^2 + W^4 + W^8 + W^9 + W^13 + W^15 + W^16

     Z2 = W^3 + W^5 + W^6 + W^7 + W^10 + W^11 + W^12 + W^14

     則 Z1 + Z2 = -1, 且 Z1 > 0，Z2 < 0

     又 W^17 = 1

     將 Z1 平方可得 Z1^2 = Z1 + 2 (Z2 + 3)
                         = Z1 + 2 (-1 - Z1 + 3)

     所以 Z1^2 + Z1 - 4 = 0

     同理 Z2^2 + Z2 - 4 = 0

     因此 Z1 = (-1 + √17)/2      Z2 = (-1 - √17)/2

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推 G41271      : 請問為何Z1>0
→ kerwinhui   : 因為Z1中W^8,W^9是唯一實部是負的，但W,W^2的實部都
→ kerwinhui   : 大於1/√2加起來足夠抵消W^8，同理W^9+W^15+W^16
→ kerwinhui   : 不過原PO答題時還是應該把這交代清楚…
推 G41271      : 對哦，感謝樓上解說
→ G41271      : 另外想請問z1的平方有64項耶，要如何化簡啊，你們怎
→ G41271      : 麼那麼輕鬆就得出等式了？
推 Vulpix      : 去數W^k有幾個，要更快請找對稱性。
推 G41271      : 樓上方法有效, 感謝, 我算出來了