推 exact23 : 謝謝您，我知道我哪邊沒分析清楚了，難怪我無法解出 05/25 02:55
推 exact23 : 我是二階遞迴的第二部分沒想好，算出的答案跟P(3) 05/25 03:01
→ exact23 : =8/9不同。謝謝您的方式與解說^^ 05/25 03:02
※ 引述《exact23 (恰恰)》之銘言：
: 題目：
: 投擲一枚正常骰子，若出現點數為1或2，則稱為「小」
: 若出現點數為3或4，則稱為「中」
: 若出現點數為5或6，則稱為「大」
: 請問，投擲100次
: 而不發生連續三次出現「小小小」、「中中中」、「大大大」的機率為何？
: 自己的想法：(查過網路，但大多次數都是投擲個位數次數，可分析硬算)
: 一、利用全部機率1，去扣除發生連續三次的機率。
: 但因為次數為100次，連續三次的情形又有許多種，所以感覺無法硬算。
: 二、想嘗試利用遞迴關係式，利用前最後兩次的可能出現組合只有九種去分析
: 但因為下一個遞迴式的九種組合與上個遞迴式不盡相同，因而遇到困難。
: 想請問各位大大，是否是要採取二的想法，再加以簡化跟思考而得答案
: 還是要採取另外的方法取得答案？
用遞迴的方法也可以：
設 p(n) 為擲 n 次沒有連續三次相同結果的機率（結果指的是大中小），則有兩種狀況：
1. 第 n 次的結果與第 n-1 次的結果不同
此時，發生的機率為 P(第 n 次不和第 n-1 次同)*P(前 n-1 次滿足條件)
2
= --- * p(n-1)
3
2. 第 n 次的結果與第 n-1 次的結果相同，機率為
P(第 n 次與第 n-1 次同)*P(第 n-1 次與第 n-2 次不同)*P(前 n-2 次滿足條件)
1 2 2
= --- * --- * p(n-2) = --- * p(n-2)
3 3 9
2 2
綜上，可知遞迴式為 p(n) = --- * p(n-1) + --- * p(n-2)
3 9
且顯然 p(1) = 1 、 p(2) = 1
由此可推出一般式為
/ \
| n n |
1 | / 1 - √(3) \ / 1 + √(3) \ |
p(n) = --- *| [3-√(3)] * | --------- | + [3 + √(3)] * | ---------- | |
4 | \ 3 / \ 3 / |
| |
\ /
-4
所以 p(100) 約 1.02268 * 10
註：二階線性遞迴的一般式推導沒有納入中學的教材中
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