※ 引述《cometic ( )》之銘言：
: ※ 引述《tzhau (生命中無法承受之輕)》之銘言：
: : 設a,b,c,d,e,f為一個給定四面體的稜長，S為此四面體的表面積，試證
: : S<=(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2)(sqrt(3))/6
: : 想了好久 希望有高手能給點提示 謝謝
: D
: ∕﹨╲
: ∕ ﹨ ╲
: ∕ ﹨╱C
: A——— B
: 由海龍公式:
: 三角形三邊長為a,b,c:
: s=(a+b+c)/2
: 面積=(s(s-a)(s-b)(s-c))^(1/2)
: =(3)^(1/2) ((s/3)(s-a)(s-b)(s-c))^(1/2)
: (由算幾不等式:)
: s/3+s-a+s-b+s-c
: ≦(3)^(1/2) (-----------------)^2
: 4
: a+b+c
: = (3)^(1/2) (----------)^2
: 6
: (3)^(1/2)
: = ----------- (a+b+c)^2
: 36
: (由柯西不等式:)
: (3)^(1/2)
: ≦ ----------- 3 (a^2+b^2+c^2)
: 36
: (3)^(1/2)
: =--------- (a^2+b^2+c^2)---------------(*)
: 12
: 因此表面積S=S_1+S_2+S_3+S_4
: (S_1,S_2,S_3,S_4 均用(*)替換)
: (3)^(1/2)
: ≦--------- (2(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2))
: 12
: (3)^(1/2)
: ≦-------- (a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2)
: 6
整理一下
a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2 >= [2sqrt(3)]S
並設BD=d,CD=e,DA=f
兩邊同乘2之後
2(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2) >= [4sqrt(3)]S
即可分成
四個"外森比克"不等式相加
a^2+b^2+c^2 >= [4sqrt(3)](ABC面積)
b^2+e^2+f^2 >= [4sqrt(3)](CDA面積)
c^2+f^2+d^2 >= [4sqrt(3)](ABD面積)
a^2+d^2+e^2 >= [4sqrt(3)](DBC面積)
即可令x=s-a,y=s-b,z=s-c
(ABC面積)^2 <= xyz(x+y+z) <= [(x+y+z)^4]/(3^3),
ABC面積 <= [(x+y+z)^2]/[3sqrt(3)]=s^2/[3sqrt(3)]
=(2s)^2/[12sqrt(3)]=(a+b+c)^2/[12sqrt(3)]
<= {1/[12sqrt(3)]}(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)
=(a^2+b^2+c^2)/[4sqrt(3)]
可以說是將去年四月底
E大所說的"海龍"公式
用"變數代換"簡化其過程
也能說是"外森比克"不等式
在空間"四面體"中的"推廣應用"...
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