[分析] 請教關於複變函數的積分問題

[bl2086 (Bingo)]

複變中的複數積分是將向量場的線積分概念推廣到複數平面上去,

在Bak & Newman的Complex Analysis一書的Chapter 8, 單純介紹

函數f若在Simply Connected Domain D中解析, 那麼f就有反導函

數F使得F'=f, 若C為D中之Simple Closed Curve, 則f在C上的積分

為0, 原因是起點及終點同是a, 所以積分等於F(a)-F(a)=0

相較之下, Conway的Functions of One Complex Variable就扯了

不少拓樸學的東西, 像Section 4.6就假設f在整個複數平面上解析

, 而C為closed rectifiable curve且同倫(homotopic)於0, 則f在

C上的積分為0

我的問題是:是不是只要f在封閉曲線C的所在範圍內解析, f就在此

範圍內有反導函數F呢?(先不談後面奇點和留數的情形)

想聽聽大家的意見

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推 Schwinger   : 答案是對的,也就是Morera's theorem
→ bl2086      : Conway那本寫的Morera定理是Cauchy定理的逆定理:
→ bl2086      : 若G為複數平面上的open disk, f在上面為連續,
→ bl2086      : 又f在G中任意的封閉三角形路徑的積分皆為0,
→ bl2086      : 則f在G上為解析
→ lovealgebra : Cauchy-Integral Theorem