Re: [中學] 求梯形面積

[carzyallen ()]

※ 引述《cat91 (可樂貓)》之銘言：
: http://imgur.com/DPl27Kd
: 如圖
: ABCD為等腰梯形
: 以AD和BC為斜邊作等腰直角三角形ASD&QBC
: 延QB,QC,SA,SD交於P,R
: 已知AS+BQ=10,PQRS周長=50
: 請求出ABCD面積
: P.S.這是自己想出的題

因為三角形ASD與三角形BCQ為等腰直角三角形
=>上底+下底=線段BC+線段AD=線段BQ√2+線段AS√2=(線段BQ+線段AS)√2=10√2

因為三角形ASD與三角形BCQ為等腰直角三角形、且ABCD為等腰梯形
所以角QBC=角QCB=角SAD=角SDA=45度、角CBA=角BCD、角BAD=角CDA
=>角PBA=角RCD、角CDR=角BAP 且線段AB=線段CD
=>三角形BAP與三角形CDR ASA全等

因為 線段PB=線段CR、線段BQ=線段CQ，
且線段PB與線段BQ、線段QC與線段CR分別在同一直線上，
且角PQR、角PSR皆為直角
=>四邊形PQRS為正方形

令線段BC中點為M、線段AD中點為N
高=線段QS-線段QM-線段SN

因為PQRS為正方形，且周長為50
=>正方形PQRS邊長為50/4
=>線段QS為25√2/2

因為三角形ASD與三角形BCQ為等腰直角三角形，且M、N分別為斜邊中點
所以線段QM平分角BQC並垂直於線段BC、線段SN平分角ASD並垂直線段AD，
且三角形ASN與三角形BQM為等腰直角三角形
=>線段QM+線段SN=線段BQ/√2+線段AS/√2=(線段BQ+線段AS)/√2=5√2

高=線段QS-(線段QM+線段SN)=25√2/2-5√2=15√2/2

梯形ABCD面積=(上底+下底)*高/2
=>10√2*15√2/2/2=75

------------以上是經原討論串留言提醒後想出來的---------------------
原本以為證明PQRS為正方形後QMNS自然會在同一直線上
但左思右想後發現PQRS是否為正方形 跟那四點是否在同一直線上很像沒有關係
所以想借串問一下，要怎麼證明他們在同一直線上

目前想法是很像可以利用相似三角形，沿著直線PQ與直線SQ做縮放
可是不知道要怎麼得到他們在同一直線的結論

或是令直線QS在線段BC的交點為M'、直線在線段AD的焦點為N'，
只要能證明M'=M、N'=N，應該就可以說明他們在同一直線上
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※ 編輯: carzyallen (1.172.116.46), 06/06/2016 16:15:18
推 arthurduh1  : 沒那麼難，根據對稱性，PQRS是箏形
→ arthurduh1  : 同時PQRS是長方形，所以就是正方形
→ arthurduh1  : 你要問的問題也可用對稱性解決
→ carzyallen  : 弱弱的問一下對稱性是什麼，跟口語俗稱的對稱一樣嗎
推 arthurduh1  : 題目的所有敘述，都對QS直線鏡射對稱
假如要證明的話要怎麼證明直線QS為本圖中的對稱軸?
※ 編輯: carzyallen (1.172.116.46), 06/06/2016 17:15:46
推 DLHZ        : 因 abcd sad bcq等腰
推 arthurduh1  : 等腰直角三角形的對稱 -> 垂直, 中點
→ arthurduh1  : 其實是很直觀的事情，我不曉得你是卡在哪一點
推 arthurduh1  : 由垂直, 中點，得到兩個三角形的對稱軸與梯形的重合