[微積] 微積分數問

[WhiteKING (我愛大咪咪)]

我就讀大一 微積分從極限上到微分積分 最近上到數列

但我對一些概念還不是很懂

我對積分的理解是這樣

黎曼說曲線下的面積可用長方形去近似(還是等於??)

也就是sigma f(C)△x  (分割應該不用趨近於零也可以吧 只要f(C)可以代表

曲線下面積就行了吧??)我們把他寫成這樣∫f(C)dx

就這樣代表長方形面積 但到目前為止都沒有計算 只是說明

如何近似(等於)長方形面積

要如何算我們不太清楚 接下來下一章是微積分基本定理

他告訴我們 曲線下面積可以等於原函數的的反導函數

再讓它等於積分

但是我覺得 單單定義黎曼和 就是只定義黎曼和 我覺得黎曼和無法等於面積

我覺得他會有上方曲線的誤差

而且課本寫他limit分割p趨近於0 這樣可以代表他連續嗎(因為微積分基本定理有連續

但是黎曼和不知道有沒有連續

總結一下我的問題

1黎曼說曲線下的面積可用長方形去近似還是等於??

2sigma f(C)△x 分割應該不用趨近於零也可以吧 只要f(C)可以代表

曲線下面積就行了吧??

3黎曼和會有上方曲線的誤差?

4黎曼和不知道有沒有連續?

還有一些其他的問題

5曲線趨近於零時 課本說會等於直線 但我覺得這樣算出曲線長度會不等於真正的長度

老師說那誤差也會趨近於零 能夠告訴我為什麼嗎

我在積分時 碰到要用代換法的題目 我覺得需要先解答前面幾個問題才行 不然我覺

的怪怪的


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推 softseaweed : 覺得你畫張圖自己分析比較快
推 LPH66       : 一般說來, 1:近似, 所以 2:才趨近零去減少 3 的誤差
→ LPH66       : 概念就是你求近似時切越細越接近實際值
→ LPH66       : 然後我們就定義當這種方式到了極限即為積分
→ LPH66       : 4 這裡其實有一個微妙的概念問題, 就是你在問的
→ LPH66       : ||p||->0 到底是什麼意思
→ LPH66       : 以初微來說, 用一點直覺理解成細到不能再細就好
→ LPH66       : 黎曼積分本身是有一個直接用分割本身描述的定義
→ LPH66       : 不把 ||p||->0 這回事寫在 lim 下面而寫在式子之外
→ LPH66       : 這一點你可以查維基百科的「黎曼積分」條目
→ LPH66       : 這是因為 lim ||p||->0 其實是個有點「深」的敘述
→ LPH66       : 它等於是在一個無窮維空間裡往某一點逼進
→ LPH66       : 書上這樣寫只是為了理解方便而已
→ LPH66       : 5.曲線長度跟面積一樣, 只是近似的方式改成直線段
→ LPH66       : 所以才會有「切到細的極限積分值為曲線長度」這定義
→ WhiteKING   : 謝謝你的回答 所以subinterval內的f(C)是隨便取的囉
→ WhiteKING   : 只是我們讓||p||->0 所以會趨近於面積
→ WhiteKING   : 另外 subinteval是閉區間 或開區間有差嗎 感覺無限
→ WhiteKING   : 多個點 會讓他不精準
→ alfadick    : 這是個好問題,可是這個版上的回答風氣,我覺得你
→ alfadick    : 問不太到想要的答案
推 arthurduh1  : 這問題前陣子有出現過，只是當初的原PO似乎沒意識
→ arthurduh1  : 到這問題
→ arthurduh1  : 要回答這些問題，首先要先釐清什麼是面積(或長度
→ arthurduh1  : 事實上你的疑惑是沒錯的。你說的是一種定義面積
→ arthurduh1  : 的方法，而有些形狀用這方法會得不出面積
推 arthurduh1  : 這可能就是你所想的「誤差」，可是這是因為定義面積
→ arthurduh1  : 的方法不統一才會造成的疑惑
→ WhiteKING   : 對!其實我也有想要怎麼定義長方形面積
推 arthurduh1  : 是的。面積的定義方式不只一種，而黎曼和只是
→ arthurduh1  : 其中之一
→ arthurduh1  : 所以誤差這個問題其實算是個假問題
推 arthurduh1  : 想知道其他的定義法，可以去翻翻測度論
→ alfadick    : 高微沒修過 測度論會看得懂嗎 我不認為
→ WhiteKING   : 其實看不懂XD 只是這樣想一想 好像有比較會一點