[微積] 泰勒展開式

[mack (回家的路)]

e^x 在 x = 0 的泰勒展開式到第三階

這我們由微積分就知道

e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3!
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今天我的小考題目是

e^(x+y) 在 x = 0, y = 0 的泰勒展開式到第三階

結果有學生直接寫下

e^(x+y) = 1 + (x+y) + (x+y)^2/2! + (x+y)^3/3!

答案是對的,可是這是怎麼看到的

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 134.208.26.136
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→ kakashi45232: 不是x+y代入x就是答案了嗎
推 handsboy    : 令x+y=t,e^t = 1+t+t^2/2!....
推 suhorng     : 直接帶入要怎麼知道是在 (0,0) 的展開阿?
→ mack        : S大問出我的盲點了
推 arthurduh1  : 由於 exp 的展開式是絕對收斂，因此可以得到
推 arthurduh1  : 但學生省略了最重要的過程
推 arthurduh1  : 不，與其說絕對收斂，不如說是冪級數都可以這樣弄
推 arthurduh1  : 由冪級數的唯一性可得
→ mack        : 先謝謝ar大的說明  可是在下愚昧  還是不懂
推 wayne2011   : 可參考" a first couse in abstract algebra 7th"
→ wayne2011   : 當中ex 5.8.8所提到的"general冪級數ring"...
推 arthurduh1  : 對於(0,0)點附近的(x,y), exp(x+y) 數值上都會是
→ arthurduh1  : 1 + (x+y) + (x+y)^2/2! + (x+y)^3/3! + ...
推 arthurduh1  : 因為這就是冪級數的樣子，接著根據唯一性就OK了
→ suhorng     : 對喔因為冪級數唯一