[中學] 期望值問題

[lookoverhere (need not to know)]

題目如下：

    有一個"寒"國偶像天團共有10個團員，某唱片公司為發行單曲，舉辦促銷活動。
    他們將每位團員的相片隨機放入單曲之中，若能蒐集到每位團員的照片，即贈送
    一張演唱會門票。則平均要購買幾張單曲才能獲贈門票？(答案取至最接近整數)

我是從朋友那邊聽來這個問題，也不知道答案為何。

我的想法是這樣的：

    設n個相異物品取後放回，n個皆取過所需次數的期望值為E(n)，顯然E(1)=1。
    考慮n個相異物的狀況，先隨機取1物，則剩下未取過的物品有n-1個，
    由於取出的可能性有n個，但我們只需要再取到剩餘的n-1個，所以接
    下來有些取物的次數是沒有貢獻的。

    考慮數量上的關係，n個相異物中將剩餘的n-1個取到其中一種的期望值應為
     n                       n
    ——×E(n-1)，故E(n)＝1+——×E(n-1)
    n-1                     n-1

               E(n)    E(n-1)     1
    整理式子得 —— － ——— ＝ ——
                n       n-1       n

                  1  1  1     1
    可推得E(n)＝n(—+—+—+…+—)
                  1  2  3     n


以這樣的想法跟結果，回頭去算這道題目，覺得數字未免太不漂亮。
想請教是不是我的想法有誤呢？或者是有更巧妙的想法可以處理這個問題？

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.163.54.221
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1465481911.A.139.html
※ 編輯: lookoverhere (1.163.54.221), 06/09/2016 22:19:12
※ 編輯: lookoverhere (1.163.54.221), 06/09/2016 22:19:50
推 Ifault      : 10+5+3.3333+2.5+2+1.66666+1.428+1.25+1.111+1
→ Ifault      : 會很醜嗎
推 LPH66       : http://tinyurl.com/j3smqq7 你的答案是對的
我算了之後才發現這根本就是一個早就被探討過的典型問題orz...

→ yhliu       : 設n不同物, 等機率無限供應, 在取得其中 k 物後, 再
→ yhliu       : 嘗試時取得新物之機率為 1-k/n, 故平均試 n/(n-k)
→ yhliu       : 次可成功. 故取全所有 n 物之期望次數為:
→ yhliu       : n/n + n/(n-1) + n/(n-2) + ... + n/1.
※ 編輯: lookoverhere (1.163.51.169), 06/11/2016 14:08:51
→ a016258     : 可口可樂 !