[分析] 調和函數gradient為0的點

[znmkhxrw (QQ)]

請問一下 如果f€C^2(A) , A open connected in R^n 是調和函數

則Z={x€A : ▽f(x)=0}有什麼性質的話會使得f常數?? 如何證明??
----------------下面是思考過程----------------

1.很容易用解析函數證明Z如果有內點則f是常數

2.我印象中好像有個敘述是“若f不是常數則Z measure zero in R^n” , 嘗試證明也證
不出, 好像跟Sard定理有關?(但是他是說image of critical point is measure zero,
並非domain)

3.以條件強弱來區分, 如果Z是R^n的子集

Z有內點 => Z 有正的外測度 => Z 有極限點

上面這推論我已經證出來了,所以我猜測定理可以強到如下:

If Z={x€A : ▽f(x)=0} has limit point in A
then f is constant

而以上定理在n=2已經藉由複變證出, 但是高維度的話目前沒轍, 也不確定對不對
(就算知道f是解析函數我也證不出來)

謝謝解惑!


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→ kerwinhui   : (2) 因harmonic => real analytic，算Taylor series
是呀 可是就是因為每個係數不再只是"一個係數"

舉例來說

                                   x              u_xx(0,0) u_xy(0,0)  x
u(x,y)=u(0,0) +[u_x(0,0) u_y(0,0)][ ] +(1/2)[x y][                   ][ ]+..
                                   y              u_yx(0,0) u_yy(0,0)  y
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跟單變數(R or C)解析函數不一樣

如何處理呢??
※ 編輯: znmkhxrw (36.227.2.157), 07/05/2016 22:50:42
→ jack7775kimo: f 調和則 偏導數也調和=>解析函數，Z有極限點則偏導
→ jack7775kimo: 數=0 則f=常數
推 jack7775kimo: 等一下,多變數不能玩 有極限點=>全0 orz
→ znmkhxrw    : 對阿 單變數才有"如果Z有極限點則各階微分=0"
→ jack7775kimo: 反例f(x,y,z)=xyz harmonic and Z包含x-axis
我昨天其實也造一個trival counterexample

f(x,y,z) = x^2-y^2

所以現在確定"Z有聚點"不夠讓n>=3的調和函數是常數 (n=1,2會是)

至於"Z有正測度"是否能讓調和函數是常數呢??


順帶一提 到底是我聽錯還是真的有這回事阿XDD

"非常數調和函數其gradient為0的點會measure zero"
※ 編輯: znmkhxrw (36.227.2.157), 07/06/2016 00:59:19
推 Vulpix      : Z會measure zero應該是對的。我總覺得，讓f是常數的
→ Vulpix      : 條件是"codim(Z)=1"之類...
→ znmkhxrw    : 我google找一段時間找不到QQ
推 jack7775kimo: zeros-of-analytic-function-of-several-real-varia
→ znmkhxrw    : 喔喔!! 謝謝!!