[機統] 獨立問題

[ksxo (aa)]

f  (x,y) = 2 ; x≧0,y≧0,x+y≦1   其他為0
 XY

u=x+y  ,  v=x-y  ，求(u,v)的結合分布機率密度函數，及兩者是否獨立?



f  (u,v) = f  ((u+v)/2,(u-v)/2) |J| = 1 ; 0≦u≦1, -u≦v≦u
 UV         XY

          u
f (u) = ∫   f   dv  =2u   ; 0≦u≦1
 U       -u   UV

          1
f (v) = ∫  f   du  = 1+v  ; -1≦v≦0
 V       -v  UV


          1
f (v) = ∫  f   du  = 1-v  ;  0≦v≦1
 V        v  UV


因為 f   ≠  f f    所以不獨立
      UV      U V


可是算cov(U,V) = E[UV] - E[U] E[V]
            u
E[UV] = ∫ ∫ uv f   dvdu = 0
            -u    UV
         0              1
E[V] = ∫  v (1+v) dv +∫  v (1-v) dv  =0
        -1              0

所以cov(U,V) = 0  => 獨立

這兩個結果是不是哪一個有錯?

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推 antry7623   : 若獨立則cov=0，但是cov=0無法保證獨立
→ ksxo        : 謝謝!!