[中學] 根的個數

[tiwsjia (佳佳)]

考慮開區間 (0, 2 pi)，已知 sin(x) 和 sin(2x) 在該區間各有一個和兩個零根。

證明或否證：

對於任意不全為零的實數 a, b

a sin(x) + b sin(2x)

在該區間中要不有一個零根或兩個零根。

＿＿＿＿＿

想請教有沒有高中數學的技巧可以解答這個問題。

佳佳

＿＿＿＿＿

一般性的版本：

已知 sin(kx) 在該區間中有 k 的零根，

證明或否證：對於任意不全為零的實數 a_m, ..., a_{m+n}

a_m sin(mx) + ... + a_{m+n} sin( (m+n) x)

在該區間的零根數必介於 m 和 m + n 之間。



--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 87.162.73.34
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1467668041.A.2E0.html
→ theoculus   : a sin(x) + b sin(2x) = sinx * (a + 2b cosx)
→ tiwsjia     : 感謝，我把問題簡化太多了，我加個一般性的版本
※ 編輯: tiwsjia (87.162.73.34), 07/05/2016 08:25:48
→ Desperato   : 沒搞錯的話 sin(2x)在(0, 2pi)間有3個零根吧(?)
→ Desperato   : 區間的定義有需要相連嗎(奇怪的問題)
→ Desperato   : 啊 不重要 反正好像有反例
→ Desperato   : 區間(0, 3pi/2), sin(x)有一根pi
→ Desperato   : sin(2x)有兩根pi/2, pi
→ Desperato   : 但是sin(x)+sin(2x)有3根 2pi/3, pi/2, 4pi/3
→ Desperato   : 會想要找反例的原因 是sin(kx)在該區間有k個0根這句
→ Desperato   : 沒事 不要理我 反正有反例就好(?)
推 Vulpix      : 佳佳學長想要的零根數應該是 2m-1 ~ 2m+2n-1 ？
→ Vulpix      : 上界：可以構造出一個多項式，然後用代數基本定理。
→ Vulpix      : 下界還在想……