題目描述錯誤，浪費大家時間，非常抱歉。題目修正如下：
考慮開區間 (0, pi)，已知對於每個 k = 0,1,2,...
sin(kx) 在該區間中有 k-1 個零根。
證明：給定 m,n = 0,1,... 對於任何不全為零的實數 a_m, a_{m+1},..., a_{m+n}
則 a_m sin(mx) + ... + a_{m+n} sin ( (m+n) x)
在該區間的的零根數必介於 m-1 和 m+n-1 之間。
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問題解釋：
考慮 Sturm-Liouville 特徵值問題：
e u = u_{xx} + b(x) u_x + c(x) u, x = (0, pi), u(0) = u(pi) = 0
已知特徵值的代數重數（algebraic multiplicity）皆為 1，且特徵值可排列成
e_0 > e_1 > ... > ... 負無窮大
e_j 對應的特徵函數 u_j 滿足 u_j 在區間 (0, pi) 有 j 個零根。
Sturm 在 1842 年證明：
如果 w 是 u_m, u_{m+1},..., u_{m+n} 的非零線性組合，
則 w 在該區間的零根數必介於 m 和 m+n 之間
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證明：用到 zero number 的 dropping 性質。
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我的好奇：
考慮最簡單的特徵值問題
e u = u_{xx}
則特徵函數為 u_j = sin( (j+1) x), j = 0,1, ...
因為是三角函數，我想說不定能用高中數學的技巧證明該性質。
※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之銘言：
: 考慮開區間 (0, 2 pi)，已知 sin(x) 和 sin(2x) 在該區間各有一個和兩個零根。
: 證明或否證：
: 對於任意不全為零的實數 a, b
: a sin(x) + b sin(2x)
: 在該區間中要不有一個零根或兩個零根。
: ＿＿＿＿＿
: 想請教有沒有高中數學的技巧可以解答這個問題。
: 佳佳
: ＿＿＿＿＿
: 一般性的版本：
: 已知 sin(kx) 在該區間中有 k 的零根，
: 證明或否證：對於任意不全為零的實數 a_m, ..., a_{m+n}
: a_m sin(mx) + ... + a_{m+n} sin( (m+n) x)
: 在該區間的零根數必介於 m 和 m + n 之間。
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