※ 引述《XII (Mathkid)》之銘言：
: ※ 引述《wesley0513 (衛斯理)》之銘言：
: : 三角形ABC為銳角三角形
: : P為A在BC邊上的垂足
: : Q為B在CA邊上的垂足
: : R為C在AB邊上的垂足
: : 若線段PQ+QR+RP=1
: : 求AP*sinA=?
: : 請各位高手幫忙了!謝謝
: 做P對AB,AC之對稱點X,Y
: 由垂心為PQR之內心可知XRQP共線,且XY=PQR周長=1
: 因AX=AY=AP,∠XAY=2∠A,故APsinA=AYsin(1/2)∠XAY=(1/2)XY=1/2
http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-2/2006/pdf/010010.pdf
著名的Fagnano問題
如圖(五)所畫
可設
MT線段中點為S,TN中點為U
於是乎
MN=2SU=2ATsinA...三角形中位線
就此題來說
當P為垂足時 (AP為高線,其餘斜邊為較大)
MN(亦即三角形TQR周長,MQ=QT,RN=RT)
有最小值為PQR周長(垂心的"垂足三角形"為內接於三角形ABC之最短周長)
1=2APsinA,SU=APsinA=1/2...恰為半周長(三角形面積=外接圓半徑*PQR周長之半)
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