※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之銘言：
: 考慮開區間 (0, pi)，已知對於每個 k = 0,1,2,...
: sin(kx) 在該區間中有 k-1 個零根。
: 證明：給定 m,n = 0,1,... 對於任何不全為零的實數 a_m, a_{m+1},..., a_{m+n}
: 則 a_m sin(mx) + ... + a_{m+n} sin ( (m+n) x)
: 在該區間的的零根數必介於 m-1 和 m+n-1 之間。
: ＿＿＿＿＿
: 問題解釋：
: 考慮 Sturm-Liouville 特徵值問題：
: e u = u_{xx} + b(x) u_x + c(x) u, x = (0, pi), u(0) = u(pi) = 0
: 已知特徵值的代數重數（algebraic multiplicity）皆為 1，且特徵值可排列成
: e_0 > e_1 > ... > ... 負無窮大
: e_j 對應的特徵函數 u_j 滿足 u_j 在區間 (0, pi) 有 j 個零根。
: Sturm 在 1842 年證明：
: 如果 w 是 u_m, u_{m+1},..., u_{m+n} 的非零線性組合，
: 則 w 在該區間的零根數必介於 m 和 m+n 之間
: ＿＿＿＿＿
: 證明：用到 zero number 的 dropping 性質。
是用 u_{m+n} 加上低階eigenfuntion後零點數頂多變少這件事嗎？
想找來看看，但是找不到是哪篇文章。
: ＿＿＿＿＿
: 我的好奇：
: 考慮最簡單的特徵值問題
: e u = u_{xx}
: 則特徵函數為 u_j = sin( (j+1) x), j = 0,1, ...
: 因為是三角函數，我想說不定能用高中數學的技巧證明該性質。
考慮 f(z) = (a_m z^m+...+a_{m+n} z^{m+n}-a_m z^{-m}-...-a{m+n} z^{-m-n})/2i
Note：當 |z|=1 時，f(z) = a_m sin(mθ) + ... + a_{m+n} sin( (m+n)θ )
則由代數基本定理知 f(z) 在複數平面上最多有 2m+2n 個根
其中有兩個無聊根：1 & -1 ( 幅角都不在(0,π)內 )
而且 f(z) 的虛根會共軛成雙，所以上半平面至多 m+n-1 個根
即上半單位圓上至多 m+n-1 個根
原問題的上界由此可知是正確的
至於下界，未完待續，暫時休載？
關於下界：
W.L.O.G. 假設 a_{m},a_{m+n}!=0 (否則只是提高上界、降低下界而已)
令 g(x) = a_m sin(mx) + ... + a_{m+n-1} sin( (m+n-1)x )
我認為 g(x) - t*sin( (m+n)x ) 的 zero number 在 t=0 時有最小值
理由是當 |t| 慢慢增加時，g(x) 和 t*sin( (m+n)x ) 的交點才會慢慢變多
而且每次要增加交點時圖形都會先相切，增加過後的交點只會移動，不會消失
這樣寫當然有點不負責任……
可是目前找不到比較好的辦法來說明
另外，關於這個結論我有另一個想法
「給定兩個 [a,b] 上滿足 Dirichlet 邊界條件的連續函數 f、g，
其非零線性組合的零點個數總是介於 f 和 g 的零點個數之間。」
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1467794849.A.DE5.html
※ 編輯: Vulpix (61.230.132.199), 07/06/2016 19:56:41
※ 編輯: Vulpix (61.230.132.199), 07/07/2016 15:38:43
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58), 06/28/2017 09:12:57