推 Vulpix : 下界是存在性定理比較麻煩，上界比較像唯一性定理。 07/07 02:15
非常感謝你提供的想法！
關於 Sturm 的工作，可以參考以下文章頁 12 ~ 13 以及文獻 [St36]
http://dynamics.mi.fu-berlin.de/preprints/FieSch02-Patterns.pdf
文中有句話 indeed we see how w/|w| approaches eigenfunctions ..
這邊用到 w(t,x) = sum_{j=m}^{m+n} a_j exp^{(e_j)t} u_j(x)
如果 w(0,x) = sum_{j=m}^{m+n} a_j u_j(x)
＿＿＿＿＿
下界我也還沒想出來...
佳佳
※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言：
: ※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之銘言：
: : 考慮開區間 (0, pi)，已知對於每個 k = 0,1,2,...
: : sin(kx) 在該區間中有 k-1 個零根。
: : 證明：給定 m,n = 0,1,... 對於任何不全為零的實數 a_m, a_{m+1},..., a_{m+n}
: : 則 a_m sin(mx) + ... + a_{m+n} sin ( (m+n) x)
: : 在該區間的的零根數必介於 m-1 和 m+n-1 之間。
: : ＿＿＿＿＿
: : 問題解釋：
: : 考慮 Sturm-Liouville 特徵值問題：
: : e u = u_{xx} + b(x) u_x + c(x) u, x = (0, pi), u(0) = u(pi) = 0
: : 已知特徵值的代數重數（algebraic multiplicity）皆為 1，且特徵值可排列成
: : e_0 > e_1 > ... > ... 負無窮大
: : e_j 對應的特徵函數 u_j 滿足 u_j 在區間 (0, pi) 有 j 個零根。
: : Sturm 在 1842 年證明：
: : 如果 w 是 u_m, u_{m+1},..., u_{m+n} 的非零線性組合，
: : 則 w 在該區間的零根數必介於 m 和 m+n 之間
: : ＿＿＿＿＿
: : 證明：用到 zero number 的 dropping 性質。
: 是用 u_{m+n} 加上低階eigenfuntion後零點數頂多變少這件事嗎？
: 想找來看看，但是找不到是哪篇文章。
: : ＿＿＿＿＿
: : 我的好奇：
: : 考慮最簡單的特徵值問題
: : e u = u_{xx}
: : 則特徵函數為 u_j = sin( (j+1) x), j = 0,1, ...
: : 因為是三角函數，我想說不定能用高中數學的技巧證明該性質。
: 考慮 f(z) = (a_m z^m+...+a_{m+n} z^{m+n}-a_m z^{-m}-...-a{m+n} z^{-m-n})/2i
: Note：當 |z|=1 時，f(z) = a_m sin(mθ) + ... + a_{m+n} sin( (m+n)θ )
: 則由代數基本定理知 f(z) 在複數平面上最多有 2m+2n 個根
: 其中有兩個無聊根：1 & -1 ( 幅角都不在(0,π)內 )
: 而且 f(z) 的虛根會共軛成雙，所以上半平面至多 m+n-1 個根
: 即上半圓至多 m+n-1 個根
: 原問題的上界由此可知是正確的
: 至於下界，未完待續，暫時休載？
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