Re: [微積] 關於牟合方蓋的積分問題

[keith291 (keith)]

※ 引述《maroondragon (魔力龍)》之銘言：
: 如題，微積分關於重積分的章節常提及有關牟合方蓋(兩半徑相同的圓柱垂直相交)的相交部分體積，及相交兩柱的共同曲面之面積運算
: 之前在網路上有看到關於三柱，四柱甚至到五柱相交部分的體積運算
: 但共同曲面的面積運算，目前只有看到兩柱相交的運算法
: 假使有三個半徑為a，分別以三維座標系的x,y,z軸為圓柱中心軸的圓柱
: 要求這三根圓柱共同部分的曲面面積，應該要怎麼求呢？


所求為12片全等柱面面積

由 x^2 + z^2 = a^2,得 z = (a^2 - x^2)^1/2

其中一曲面參數式為

→
r(x,y) = ( x , y , (a^2 - x^2)^1/2 )

on D = {(x,y)|x^2 + y^2 = a^2, x = y, x = -y 三者所圍出通過一四象限之扇形}

 →    →
r_x X r_y = (x/(a^2 - x^2)^1/2 , 0 , 1)

  →    →
|r_x X r_y| = a/(a^2 - x^2)^1/2

所求面積為


12∫∫ a/(a^2 - x^2)^1/2 dxdy
   D

    π/4 a
= 12 ∫ ∫ ar/(a^2 - (rcosθ)^2)^1/2 drdθ
   -π/4 0


剩下簡單計算留給你

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→ maroondragon: 謝謝大大解惑
→ maroondragon: http://imgur.com/YqO1bFA
→ maroondragon: 算出來的答案是24a^2 不知道對不對...
→ maroondragon: 因為不太清楚極座標的積分法，改以直角坐標積
→ maroondragon: 應該是沒錯的...(抖
→ keith291    : 不對喔  (x,y)的區域是扇形 你算的是三角形
→ keith291    : 而且我留給你的算式已經是一般雙重積分了
→ keith291    : 不用知道極座標你也能算
→ keith291    : (r,θ)直角座標系中的雙重積分
→ maroondragon: 對不起，我實在沒有頭緒要怎麼積分那個極座標式...
→ maroondragon: 我之前寫的重積分題目，一般分母的根號內都是單變數
→ maroondragon: 這種雙變數的我是第一次看到，想拜託大大告訴我該怎
→ maroondragon: 麼積分這式子，拜託了>_<
   π/4 a
 12 ∫ ∫ ar/(a^2 - (rcosθ)^2)^1/2 drdθ
  -π/4 0


    π/4                                        a
= 12 ∫   a(a^2 - (rcosθ)^2)^1/2 / -(cosθ)^2 |  dθ
   -π/4                                        0


    π/4  a^2 (1 - (cosθ)^2)^1/2        a^2
= 12 ∫   ------------------------ + -----------  dθ
   -π/4        -(cosθ)^2            (cosθ)^2

又被積式為偶函數:

    π/4  a^2 (1 - (cosθ)^2)^1/2        a^2
= 24 ∫   ------------------------ + -----------  dθ
      0         -(cosθ)^2            (cosθ)^2


    π/4   a^2 (sinθ)        a^2
= 24 ∫   ------------- + -----------  dθ
      0    -(cosθ)^2      (cosθ)^2

                            π/4
= 24(-a^2 secθ + a^2 tanθ)|
                             0

= 24(-a^2 √2 + a^2 + a^2 )


= 24a^2 (2 - √2)

另外wiki上牟合方蓋的英文頁面就有答案:

https://en.wikipedia.org/wiki/Steinmetz_solid#Surface_area
※ 編輯: keith291 (1.162.222.143), 07/07/2016 22:19:15
→ maroondragon: ㄚㄚ 我一直糾結在那個rcosθ，原來先積r一樣可以
→ maroondragon: 將cos搞出來...
→ maroondragon: 看起來結果跟3柱相交部分體積有些關聯性@@