[微積] ln(1+x)的不等式

[zxm20243 ( )]

[題目]

試證明對於所有x > 0

x - x^2/2 + x^3/3 * 1/(1+x) < ln(1+x) < x - x^2/2 + x^3/3


[我的想法]

我目前可以用泰勒展開式做出右邊的不等式，

利用ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 * 1/(1+c)^3  (0 < c < x)

又(1+x)^(-3)為遞減，代入x = 0就有右邊的不等式


但左邊多乘上1/(1+x)就不曉得該如何處理，

有請各位大大救一下，感謝各位m(_ _)m

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→ popop1234   : 題目不是證明x>0的情況嗎?為何要帶入x=0討論
嗯，我沒有表達很清楚，重寫一下：

ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 * 1/(1+c)^3  --- Taylor expansion, 0 < c < x

        < x - x^2/2 + x^3/3 * 1/(1+0)^3  --- 1/(1+t)^3 嚴格遞減，取t = 0

        = x - x^2/2 + x^3/3              --- RHS

→ popop1234   : 再請教一個問題為什麼可以用*1(1+c)^3描述後半段-.-
https://goo.gl/D5fDy1
https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem
        #Explicit_formulas_for_the_remainder

→ vata        : 因為分母變小，所以1/(1+c)^3 比 1/(1+0)^3 還小
推 vata        : 另一邊用相同的方法， 因為c < x
推 vata        : 所以1/(1+c)^3 比 1/(1+x)^3 還打
推 vata        : 不對，看到題目沒有三次方@@
→ keith291    : ln的泰勒展開只對|x|<1對  你沒有證明x ≧1 部分
我不太確定我這個講法對不對，因為我是重新念一次微積分，

但如果只用Taylor theorem的話，我想應該可以不用考慮收斂半徑？

→ yuyol       : 泰勒等式寫到三階還不夠, 那就寫到四階的吧.
推 keith291    : 你是對的 只需要n+1次可微
※ 編輯: zxm20243 (118.169.34.216 臺灣), 04/25/2021 03:06:30