Re: [微積] ln(1+x)的不等式

[transt (transt)]

我覺得這應該不是出題者的解法...




Let F(t) = t - t^2/2 + t^3/3 * 1/(1+t) + c, where c is a constant

    thus F(0) = c. Let G(t) = ln(1+t)


Let H(t) = F'(t) = 1/(1+t) - t^3/3 * 1/(1+t)^2, G'(t) = 1/(1+t)

obviously, H(t) < G'(t) ∀ t > 0, H(0) = G'(0) = 0

             x             x                 x
therefore, ∫  H(t) dt < ∫  G'(t) dt, and ∫  H(t) dt = F(x) - F(0)
             0             0                 0




希望有高手能用原PO的脈絡做出來，或是有別的比較漂亮的解法

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推 zxm20243    : 這解法還不錯，不過他應該不是要這個解法XD
→ zxm20243    : 不過如果拔掉積分的話應該就沒問題了XD
→ zxm20243    : 應該可以用F'(x)-G'(x) < 0 => 嚴格遞減
→ zxm20243    : 取c = 0，此時F(0) = G(0) 且F-G為嚴格遞減
推 zxm20243    : 嚴格遞減的部分都可以用MVT說明，總之非常感謝OAQ